$\cot(2x) = \sqrt{3}$ denkleminin $[0, \pi]$ aralığındaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\{\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}\}$
B) $\{\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\}$
C) $\{\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}\}$
D) $\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, trigonometrik bir denklemin belirli bir aralıktaki çözüm kümesini bulma konusunu adım adım inceleyeceğiz. Sorumuz $\cot(2x) = \sqrt{3}$ denkleminin $[0, \pi]$ aralığındaki çözüm kümesini bulmak.
- Adım 1: Temel Kotanjant Değerini Bulma
- İlk olarak, hangi açının kotanjantının $\sqrt{3}$ olduğunu bulmalıyız. Kotanjant fonksiyonu, tanjant fonksiyonunun tersidir, yani $\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}$.
- Eğer $\cot(\theta) = \sqrt{3}$ ise, o zaman $\tan(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ olur.
- Tanjantı $\frac{\sqrt{3}}{3}$ olan açı $30^\circ$ veya radyan cinsinden $\frac{\pi}{6}$'dır.
- Bu durumda, $2x = \frac{\pi}{6}$ denklemin bir temel çözümüdür.
- Adım 2: Kotanjant Denklemlerinin Genel Çözümü
- Kotanjant fonksiyonunun periyodu $\pi$'dir. Bu, $\cot(\theta) = k$ şeklindeki bir denklemin genel çözümünün $\theta = \alpha + n\pi$ olduğunu gösterir, burada $\alpha$ temel çözümdür ve $n$ bir tam sayıdır ($n \in \mathbb{Z}$).
- Bizim denklemimizde $\theta = 2x$ ve $\alpha = \frac{\pi}{6}$ olduğundan, genel çözüm şu şekilde yazılır:
- $2x = \frac{\pi}{6} + n\pi$
- Adım 3: $x$ Değerlerini Bulma
- Şimdi $x$'i yalnız bırakmak için denklemin her iki tarafını $2$'ye bölelim:
- $x = \frac{\frac{\pi}{6}}{2} + \frac{n\pi}{2}$
- $x = \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{2}$
- Adım 4: Belirtilen Aralıktaki Çözümleri Bulma
- Bize verilen aralık $[0, \pi]$'dir. Bu aralıktaki $x$ değerlerini bulmak için $n$ yerine farklı tam sayılar yazmalıyız.
- $n=0$ için:
- $x = \frac{\pi}{12} + \frac{0 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{12}$
- $\frac{\pi}{12}$ değeri $[0, \pi]$ aralığındadır ($0 \le \frac{\pi}{12} \le \pi$). Bu bir çözümdür.
- $n=1$ için:
- $x = \frac{\pi}{12} + \frac{1 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2}$
- Paydaları eşitleyelim: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{6\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$
- $\frac{7\pi}{12}$ değeri $[0, \pi]$ aralığındadır ($0 \le \frac{7\pi}{12} \le \pi$). Bu da bir çözümdür.
- $n=2$ için:
- $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12}$
- $\frac{13\pi}{12}$ değeri $\pi$'den büyüktür, yani $[0, \pi]$ aralığında değildir. Bu nedenle $n=2$ ve daha büyük $n$ değerleri için çözüm bulamayız.
- $n=-1$ için:
- $x = \frac{\pi}{12} + \frac{-1 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{2}$
- Paydaları eşitleyelim: $x = \frac{\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12}$
- $-\frac{5\pi}{12}$ değeri $0$'dan küçüktür, yani $[0, \pi]$ aralığında değildir. Bu nedenle $n=-1$ ve daha küçük $n$ değerleri için çözüm bulamayız.
- Adım 5: Çözüm Kümesini Belirleme
- Yukarıdaki adımlarda bulduğumuz ve $[0, \pi]$ aralığında olan çözümler $\frac{\pi}{12}$ ve $\frac{7\pi}{12}$'dir.
- Çözüm kümesi $\{\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}\}$ olarak bulunur.
Bu çözüm kümesi seçeneklerden A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
