Problem çözme teknikleri Test 2

Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısı erkek öğrencilerin sayısının 2/3'üdür. Sınıfa 5 kız ve 3 erkek öğrenci daha katılırsa kız öğrencilerin sayısı erkek öğrencilerin sayısının 3/4'ü oluyor. Buna göre başlangıçta sınıfta kaç öğrenci vardır?

A) 30
B) 35
C) 40
D) 45

Bu tür problemleri çözmek için adım adım ilerleyelim ve bilinmeyenleri denklemlerle ifade edelim.

• 1. Değişkenleri Belirleyelim:
  • Başlangıçtaki kız öğrenci sayısına $K$ diyelim.
  • Başlangıçtaki erkek öğrenci sayısına $E$ diyelim.
• 2. Denklemleri Kuralım:
  • Sorunun ilk cümlesi: "Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısı erkek öğrencilerin sayısının $2/3$'üdür." Bu durumu matematiksel olarak şöyle ifade ederiz: $K = \frac{2}{3}E$ (Denklem 1)
  • Sorunun ikinci cümlesi: "Sınıfa 5 kız ve 3 erkek öğrenci daha katılırsa kız öğrencilerin sayısı erkek öğrencilerin sayısının $3/4$'ü oluyor." Yeni kız öğrenci sayısı: $K+5$ Yeni erkek öğrenci sayısı: $E+3$ Bu durumu matematiksel olarak şöyle ifade ederiz: $K+5 = \frac{3}{4}(E+3)$ (Denklem 2)
• 3. Denklemleri Çözelim:
  • Denklem 1'deki $K$ değerini Denklem 2'de yerine yazalım: $\frac{2}{3}E + 5 = \frac{3}{4}(E+3)$
  • Denklemi daha basit hale getirmek için parantezi açalım: $\frac{2}{3}E + 5 = \frac{3}{4}E + \frac{3 \times 3}{4}$ $\frac{2}{3}E + 5 = \frac{3}{4}E + \frac{9}{4}$
  • $E$ terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. Bunun için her iki tarafı da 12 (3 ve 4'ün en küçük ortak katı) ile çarpabiliriz veya terimleri doğrudan taşıyabiliriz: $5 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}E - \frac{2}{3}E$
  • Sol tarafı hesaplayalım: $\frac{20}{4} - \frac{9}{4} = \frac{11}{4}$
  • Sağ tarafı hesaplayalım (paydaları eşitleyelim): $\frac{3 \times 3}{4 \times 3}E - \frac{2 \times 4}{3 \times 4}E = \frac{9}{12}E - \frac{8}{12}E = \frac{1}{12}E$
  • Şimdi denklemi birleştirelim: $\frac{11}{4} = \frac{1}{12}E$
  • $E$'yi bulmak için her iki tarafı 12 ile çarpalım: $E = \frac{11}{4} \times 12$ $E = 11 \times 3$ $E = 33$
  • Başlangıçtaki erkek öğrenci sayısı 33'tür.
  • Şimdi Denklem 1'i kullanarak başlangıçtaki kız öğrenci sayısını bulalım: $K = \frac{2}{3}E$ $K = \frac{2}{3} \times 33$ $K = 2 \times 11$ $K = 22$
  • Başlangıçtaki kız öğrenci sayısı 22'dir.
• 4. Başlangıçtaki Toplam Öğrenci Sayısını Bulalım:
  • Başlangıçtaki toplam öğrenci sayısı, kız ve erkek öğrenci sayılarının toplamıdır: Toplam Öğrenci = $K + E$ Toplam Öğrenci = $22 + 33$ Toplam Öğrenci = $55$
• 5. Cevabı Kontrol Edelim:
  • Başlangıçta 22 kız ve 33 erkek öğrenci var. ($22 = \frac{2}{3} \times 33$ doğru.)
  • Sınıfa 5 kız ve 3 erkek öğrenci daha katılırsa: Yeni kız öğrenci sayısı: $22 + 5 = 27$ Yeni erkek öğrenci sayısı: $33 + 3 = 36$
  • Yeni durumda kız öğrencilerin sayısı erkek öğrencilerin sayısının $3/4$'ü mü? $27 = \frac{3}{4} \times 36$ $27 = 3 \times 9$ $27 = 27$ (Doğru!)
  • Yaptığımız hesaplamalar, başlangıçtaki toplam öğrenci sayısının 55 olduğunu göstermektedir.

Cevap B seçeneğidir.