Ağırlık merkezi nedir Test 2

Kütlesi önemsiz bir çubuğun iki ucuna 2m ve 3m kütleli cisimler asılıyor. Çubuk, bir ip yardımıyla dengede tutulduğunda, ipin bağlandığı nokta çubuğu hangi oranda böler?

A) 2:3
B) 3:2
C) 1:1
D) 5:2

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, kütlesi önemsiz bir çubuğun iki ucuna asılan farklı kütlelerin oluşturduğu denge durumunu inceleyeceğiz. Çubuğun dengede kalabilmesi için ipin tam olarak nereye bağlanması gerektiğini, yani çubuğu hangi oranda böldüğünü bulacağız. Bu tür denge problemlerinde anahtar kavram "tork dengesi"dir.

• 1. Problemi Anlayalım:

  Elimizde kütlesi önemsiz bir çubuk var. Bu, çubuğun kendi ağırlığının dengeye herhangi bir etkisi olmayacağı anlamına gelir. Çubuğun bir ucunda $2m$ kütleli, diğer ucunda $3m$ kütleli cisimler asılı. Çubuk bir ip yardımıyla dengede tutuluyor. Dengede kalma koşulu, çubuk üzerindeki net kuvvetin ve net torkun sıfır olmasıdır.

• 2. Kuvvetleri ve Uzaklıkları Tanımlayalım:

  Çubuğun sol ucuna $2m$ kütlesi, sağ ucuna $3m$ kütlesi asılmış olsun. Bu kütlelerin ağırlıkları aşağı yönlü kuvvetler oluşturur:

  • $2m$ kütlesinin ağırlığı: $F_1 = (2m)g$
  • $3m$ kütlesinin ağırlığı: $F_2 = (3m)g$

  İpin bağlandığı noktayı dönme noktası (pivot) olarak kabul edelim. Bu nokta, $2m$ kütlesinden $x_1$ kadar, $3m$ kütlesinden ise $x_2$ kadar uzakta olsun. Bizden istenen oran $x_1 : x_2$ oranıdır.

• 3. Dönme Noktasını Seçelim:

  Tork hesaplamaları için bir dönme noktası seçmemiz gerekir. En uygun seçim, ipin bağlandığı noktadır. Çünkü ipin uyguladığı gerilme kuvveti bu noktadan geçtiği için, bu kuvvetin dönme noktasına göre torku sıfır olur. Bu, denklemlerimizi basitleştirir.

• 4. Tork Dengesi Koşulunu Uygulayalım:

  Çubuğun dengede kalabilmesi için, dönme noktasına göre net tork sıfır olmalıdır. Bu, saat yönündeki torkların toplamının, saat yönünün tersindeki torkların toplamına eşit olması gerektiği anlamına gelir.

  Tork ($\tau$) formülü: $\tau = \text{Kuvvet} \times \text{Dönme Noktasına Uzaklık}$

• 5. Torkları Hesaplayalım:
  • $2m$ kütlesinin oluşturduğu tork ($\tau_1$): Bu kütle, ipin bağlandığı noktayı saat yönünün tersine döndürme eğilimindedir.

  $\tau_1 = F_1 \times x_1 = (2m)g \times x_1$

  • $3m$ kütlesinin oluşturduğu tork ($\tau_2$): Bu kütle, ipin bağlandığı noktayı saat yönünde döndürme eğilimindedir.

  $\tau_2 = F_2 \times x_2 = (3m)g \times x_2$

• 6. Denklemi Kuralım ve Çözelim:

  Denge koşuluna göre, saat yönündeki tork saat yönünün tersindeki torka eşit olmalıdır:

  $\tau_1 = \tau_2$

  $(2m)g \times x_1 = (3m)g \times x_2$

  Denklemin her iki tarafındaki ortak terimleri ($mg$) sadeleştirelim:

  $2x_1 = 3x_2$

  Şimdi $x_1$ ve $x_2$ arasındaki oranı bulalım. Her iki tarafı $x_2$'ye bölelim ve sonra 2'ye bölelim:

  $\frac{x_1}{x_2} = \frac{3}{2}$

  Bu oran, ipin bağlandığı noktanın $2m$ kütlesine olan uzaklığının ($x_1$), $3m$ kütlesine olan uzaklığına ($x_2$) oranının $3:2$ olduğunu gösterir.

  Yani, ipin bağlandığı nokta çubuğu $3:2$ oranında böler. Bu, daha ağır olan kütleye daha yakın olması gerektiği anlamına gelir ki denge sağlanabilsin.

Cevap B seçeneğidir.