Polinom nedir Test 2

İkinci dereceden bir P(x) polinomu için P(1) = P(2) = 0 ve P(3) = 4 olduğuna göre, P(0) değeri kaçtır?

A) -4
B) -2
C) 2
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda ikinci dereceden bir polinomun özelliklerini kullanarak bilinmeyen bir değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Polinomun Köklerini Kullanarak Genel Formunu Yazma

  Soruda bize $P(x)$ polinomunun ikinci dereceden olduğu ve $P(1) = 0$ ile $P(2) = 0$ eşitlikleri verilmiş. Bir polinomda $P(a) = 0$ olması, $x=a$ değerinin o polinomun bir kökü olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, $x=1$ ve $x=2$ değerleri $P(x)$ polinomunun kökleridir.

  İkinci dereceden bir polinomun kökleri $r_1$ ve $r_2$ ise, bu polinomu genel olarak $P(x) = k(x-r_1)(x-r_2)$ şeklinde yazabiliriz. Burada $k$ bir sabittir.

  Köklerimiz $r_1 = 1$ ve $r_2 = 2$ olduğuna göre, $P(x)$ polinomunu şu şekilde ifade edebiliriz:

  $P(x) = k(x-1)(x-2)$

• Adım 2: Verilen Diğer Bilgiyi Kullanarak $k$ Sabitini Bulma

  Şimdi elimizde $P(x) = k(x-1)(x-2)$ ifadesi var. Soruda bize $P(3) = 4$ olduğu bilgisi de verilmiş. Bu bilgiyi kullanarak $k$ sabitini bulabiliriz. $x$ yerine $3$ yazıp eşitliği $4$'e eşitleyelim:

  $P(3) = k(3-1)(3-2)$

  $4 = k(2)(1)$

  $4 = 2k$

  Her iki tarafı $2$'ye bölerek $k$ değerini buluruz:

  $k = \frac{4}{2}$

  $k = 2$

• Adım 3: Polinomun Tam Denklemini Yazma

  $k$ sabitini bulduğumuza göre, $P(x)$ polinomunun tam denklemini yazabiliriz. $k=2$ değerini yerine koyalım:

  $P(x) = 2(x-1)(x-2)$

• Adım 4: $P(0)$ Değerini Hesaplama

  Son olarak, bizden $P(0)$ değerini bulmamız isteniyor. Polinomun denkleminde $x$ yerine $0$ yazarak bu değeri hesaplayalım:

  $P(0) = 2(0-1)(0-2)$

  $P(0) = 2(-1)(-2)$

  $P(0) = 2(2)$

  $P(0) = 4$

Böylece, $P(0)$ değerini $4$ olarak bulmuş olduk.

Cevap D seçeneğidir.