Logaritmanın tanım aralığı nasıl bulunur

Question

Logaritmanın içini sıfırdan büyük yapmamız gerektiğini biliyorum ama bazen eşitsizlikleri çözerken kafam karışıyor. Özellikle logaritmanın tabanının 1'den farklı ve pozitif olması gerektiğini unutuyorum. Bu iki kuralı aynı anda nasıl uygulayacağımı tam olarak netleştiremedim.

Answer 1

# 📘 Logaritmanın Tanım Aralığı Nasıl Bulunur? – Ders Notu

🎯 Logaritmik Fonksiyonun Temel Özellikleri

Logaritma, üstel fonksiyonların tersi olarak tanımlanan matematiksel bir işlemdir. log_ax şeklinde gösterilir ve "a tabanında x'in logaritması" olarak okunur. Tanım aralığını doğru belirlemek, logaritmik denklem ve eşitsizliklerin çözümü için kritik öneme sahiptir.

🔍 Tanım Aralığı Belirleme Kuralları

Bir logaritmik fonksiyonun tanımlı olması için iki temel koşul aynı anda sağlanmalıdır:

📝 Kural 1: Taban Koşulları

• ✅ Taban 1'den farklı pozitif bir gerçel sayı olmalıdır: \( a > 0 \) ve \( a \neq 1 \)
• ❌ Taban negatif olamaz (karmaşık sayı çıkabilir)
• ❌ Taban 0 olamaz
• ❌ Taban 1 olamaz (sonsuz çözüm problemi)

📝 Kural 2: Logaritması Alınan Sayı Koşulu

• ✅ Logaritması alınan ifade kesinlikle pozitif olmalıdır: \( x > 0 \)
• ❌ Sıfır veya negatif sayıların logaritması tanımsızdır

🧮 Tanım Aralığı Bulma Adımları

📌 Adım 1: Logaritması Alınan İfadeyi Sıfırdan Büyük Yaz

Örneğin \( f(x) = \log_{2}(3x - 6) \) için:
\( 3x - 6 > 0 \)

📌 Adım 2: Eşitsizliği Çöz

\( 3x > 6 \)
\( x > 2 \)

📌 Adım 3: Tabanı Kontrol Et

Taban 2 olduğu için \( 2 > 0 \) ve \( 2 \neq 1 \) → koşul sağlanıyor.

📌 Adım 4: Tanım Kümesini Yaz

\( x \in (2, \infty) \) veya \( \{ x \mid x > 2 \} \)

🎓 Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek 1: \( f(x) = \log_{5}(x^2 - 4) \)

Çözüm:
1. \( x^2 - 4 > 0 \)
2. \( (x - 2)(x + 2) > 0 \)
3. İşaret tablosu yapıldığında: \( x < -2 \) veya \( x > 2 \)
4. Taban 5 → uygun
5. Tanım aralığı: \( (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \)

Örnek 2: \( g(x) = \log_{(x-1)}(x + 3) \)

Çözüm:
1. Taban koşulları:
- \( x - 1 > 0 \) → \( x > 1 \)
- \( x - 1 \neq 1 \) → \( x \neq 2 \)
2. Logaritması alınan ifade: \( x + 3 > 0 \) → \( x > -3 \)
3. Hepsinin kesişimi: \( x > 1 \) ve \( x \neq 2 \)
4. Tanım aralığı: \( (1, 2) \cup (2, \infty) \)

⚠️ Sık Yapılan Hatalar

• ❌ Logaritması alınan ifadeyi sadece sıfıra eşitlemek (büyük olmalı!)
• ❌ Tabanın 1 olabileceğini düşünmek
• ❌ Negatif tabanlı logaritmayı reel sayılarda tanımlı sanmak
• ❌ Birden fazla logaritma varsa tüm koşulların kesişimini almamak

💡 Pratik İpuçları

• ✅ Her zaman önce "logaritması alınan > 0" yaz
• ✅ Değişken taban varsa, taban koşullarını unutma
• ✅ Çözümü sayı doğrusunda göster
• ✅ Bileşik logaritmik fonksiyonlarda tüm koşulları birleştir

📊 Özet Tablo

log_af(x) fonksiyonu için:

• 🔸 \( a > 0 \) ve \( a \neq 1 \)
• 🔸 \( f(x) > 0 \)
• 🔸 Tanım kümesi = Taban koşulu ∩ \( f(x) > 0 \) çözümü

Not: Logaritmanın tanım aralığı bulunurken, fonksiyonun reel değerler üretebilmesi için tüm koşulların aynı anda sağlanması gerektiğini unutmayın. Bu konu, logaritmik denklem ve eşitsizliklerin temelini oluşturur.