Polinom nedir Test 2

P(x) bir polinom olmak üzere, P(x-1) + P(x+1) = 4x² - 2x + 6 eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir polinomun belirli bir eşitliği sağladığı verilmiş ve bizden bu polinomun sabit terimini bulmamız isteniyor. Sabit terim, bir polinomda $x$ yerine $0$ yazdığımızda elde ettiğimiz değerdir, yani $P(0)$'dır.

• 1. Adım: $P(x)$ polinomunun derecesini belirleyelim.

  Verilen eşitlik $P(x-1) + P(x+1) = 4x^2 - 2x + 6$ şeklindedir. Eşitliğin sağ tarafı $2$. dereceden bir polinomdur. Eğer $P(x)$ polinomunun derecesi $n$ ise, $P(x-1)$ ve $P(x+1)$ polinomlarının dereceleri de $n$ olur. İki $n$. dereceden polinomun toplamı da en fazla $n$. dereceden olur. Sağ taraf $2$. dereceden olduğu için, $P(x)$ polinomunun da $2$. dereceden olması gerekir.

  O halde, $P(x)$ polinomunu genel haliyle $P(x) = ax^2 + bx + c$ şeklinde yazabiliriz. Burada $a$, $b$, $c$ birer sabittir ve $a \neq 0$ olmalıdır. Bizden istenen sabit terim $P(0)$ değeri, yani $c$ değeridir.

• 2. Adım: $P(x-1)$ ve $P(x+1)$ polinomlarını $P(x)$ cinsinden yazalım.

  $P(x) = ax^2 + bx + c$ olduğuna göre:

  • $P(x-1) = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$
  • $P(x-1) = a(x^2 - 2x + 1) + bx - b + c$
  • $P(x-1) = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c$
  • $P(x-1) = ax^2 + (b-2a)x + (a-b+c)$

  Benzer şekilde:

  • $P(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$
  • $P(x+1) = a(x^2 + 2x + 1) + bx + b + c$
  • $P(x+1) = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c$
  • $P(x+1) = ax^2 + (b+2a)x + (a+b+c)$
• 3. Adım: $P(x-1)$ ve $P(x+1)$ polinomlarını toplayıp verilen eşitlikle karşılaştıralım.

  $P(x-1) + P(x+1) = [ax^2 + (b-2a)x + (a-b+c)] + [ax^2 + (b+2a)x + (a+b+c)]$

  Terimleri birleştirelim:

  • $x^2$ terimleri: $ax^2 + ax^2 = 2ax^2$
  • $x$ terimleri: $(b-2a)x + (b+2a)x = (b-2a+b+2a)x = 2bx$
  • Sabit terimler: $(a-b+c) + (a+b+c) = a-b+c+a+b+c = 2a+2c$

  Yani, $P(x-1) + P(x+1) = 2ax^2 + 2bx + (2a+2c)$ olur.

  Bu ifadeyi verilen eşitlik olan $4x^2 - 2x + 6$ ile karşılaştıralım:

  $2ax^2 + 2bx + (2a+2c) = 4x^2 - 2x + 6$

• 4. Adım: Katsayıları eşitleyerek $a$, $b$ ve $c$ değerlerini bulalım.
  • $x^2$ terimlerinin katsayıları: $2a = 4 \Rightarrow a = 2$
  • $x$ terimlerinin katsayıları: $2b = -2 \Rightarrow b = -1$
  • Sabit terimler: $2a+2c = 6$

  Bulduğumuz $a=2$ değerini son eşitlikte yerine yazalım:

  $2(2) + 2c = 6$

  $4 + 2c = 6$

  $2c = 2$

  $c = 1$

• 5. Adım: $P(x)$ polinomunun sabit terimini bulalım.

  $P(x)$ polinomunun sabit terimi $P(0)$'dır ve bu da $c$ değerine eşittir. Biz $c=1$ bulduk.

  Dolayısıyla, $P(x)$ polinomunun sabit terimi $1$'dir.

Cevap B seçeneğidir.