Üçüncü dereceden başkatsayısı 2 olan bir P(x) polinomu x²-1 ile tam bölünebilmektedir. P(2) = 18 olduğuna göre, P(-1) değeri kaçtır?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
Bu soruyu adım adım çözerek polinomlar konusundaki bilgimizi pekiştirelim.
Adım 1: P(x) polinomunun genel yapısını belirleyelim.
P(x) üçüncü dereceden bir polinom ve başkatsayısı 2'dir. Bu, polinomun en yüksek dereceli teriminin $2x^3$ olduğu anlamına gelir.
P(x) polinomu $x^2-1$ ile tam bölünebilmektedir. $x^2-1$ ifadesini çarpanlarına ayırırsak $(x-1)(x+1)$ elde ederiz.
Bir polinom, bir ifadeye tam bölünüyorsa, o ifadenin çarpanları da polinomun çarpanlarıdır. Dolayısıyla, P(x) polinomu $(x-1)$ ve $(x+1)$ çarpanlarını içermelidir.
P(x) üçüncü dereceden olduğu için, bu iki çarpanın yanı sıra bir tane daha birinci dereceden çarpanı olmalıdır. Bu çarpanı $(x-k)$ şeklinde ifade edebiliriz, burada $k$ bilinmeyen bir sabittir.
Başkatsayının 2 olduğunu da göz önünde bulundurarak, P(x) polinomunu şu şekilde yazabiliriz: $P(x) = 2(x-1)(x+1)(x-k)$.
Bu ifadeyi daha düzenli hale getirirsek: $P(x) = 2(x^2-1)(x-k)$.
Adım 2: Bilinmeyen $k$ sabitini bulalım.
Bize verilen $P(2) = 18$ bilgisini kullanarak $k$ değerini bulacağız.
$P(x)$ ifadesinde $x$ yerine 2 yazalım: $P(2) = 2(2^2-1)(2-k)$.
Bu ifadeyi 18'e eşitleyelim: $2(4-1)(2-k) = 18$.
İşlemleri yapalım: $2(3)(2-k) = 18$.
$6(2-k) = 18$.
Her iki tarafı 6'ya bölelim: $2-k = 3$.
$k$ değerini yalnız bırakalım: $k = 2-3$.
Böylece $k = -1$ olarak bulunur.
Adım 3: P(x) polinomunu tam olarak yazalım.
Bulduğumuz $k = -1$ değerini $P(x)$ polinomunun genel ifadesine yerine koyalım:
$P(x) = 2(x^2-1)(x-(-1))$.
$P(x) = 2(x^2-1)(x+1)$.
Bu, aradığımız P(x) polinomunun tam ifadesidir.
Adım 4: P(-1) değerini hesaplayalım.
Şimdi bizden istenen $P(-1)$ değerini bulmak için, $P(x)$ ifadesinde $x$ yerine $-1$ yazalım.
