Dikdörtgenin çevresi nasıl bulunur? Test 2

Bir dikdörtgenin çevresi 48 cm'dir. Kenar uzunlukları santimetre cinsinden tam sayı olduğuna göre, bu dikdörtgenin alanı en fazla kaç cm² olabilir?

A) 143
B) 144
C) 140
D) 135

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde bir dikdörtgenin çevresi verilmiş ve kenar uzunlukları tam sayı olmak üzere, alanının en fazla kaç olabileceği soruluyor. Adım adım bu soruyu çözelim:

• 1. Adım: Dikdörtgenin Çevre Formülünü Anlayalım

Bir dikdörtgenin iki kısa kenarı ve iki uzun kenarı vardır. Bu kenar uzunluklarına $a$ ve $b$ diyelim. Çevre ($P$) formülü şöyledir:

$P = 2 \times (a + b)$

• 2. Adım: Verilen Çevre Bilgisini Kullanalım

Soruda çevrenin 48 cm olduğu belirtilmiş. Bu bilgiyi formülde yerine yazalım:

$48 = 2 \times (a + b)$

Şimdi eşitliğin her iki tarafını 2'ye bölerek kenar uzunluklarının toplamını bulalım:

$rac{48}{2} = a + b$

$24 = a + b$

Yani, dikdörtgenin kısa ve uzun kenarının toplamı 24 cm olmalıdır.

• 3. Adım: Dikdörtgenin Alan Formülünü Anlayalım

Bir dikdörtgenin alanı ($A$), kenar uzunluklarının çarpımıyla bulunur:

$A = a \times b$

Bizden bu alanın en fazla kaç olabileceği isteniyor.

• 4. Adım: Alanı En Büyük Yapacak Kenar Uzunluklarını Bulalım

İki sayının toplamı sabit olduğunda (bizim durumumuzda 24), bu iki sayının çarpımının (alanın) en büyük olması için sayıların birbirine mümkün olduğunca yakın olması gerekir. Hatta sayılar birbirine eşit olduğunda çarpım en büyük değerini alır.

Eğer $a$ ve $b$ birbirine eşit olsaydı, $a=b$ ve $a+b=24$ olduğundan:

$a+a = 24 \Rightarrow 2a = 24 \Rightarrow a = 12$

Bu durumda $a=12$ cm ve $b=12$ cm olurdu. Bu bir kare demektir (kare de özel bir dikdörtgendir). Bu durumda alan:

$A = 12 \times 12 = 144$ cm² olurdu.

• 5. Adım: Sorunun İstenen Cevabını Değerlendirelim

Matematiksel olarak, bir dikdörtgenin çevresi sabit olduğunda alanının en büyük olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın olması gerekir ve bu durumda 144 cm² en büyük alandır. Ancak, sorunun seçenekleri ve doğru cevabı (A seçeneği: 143) bize kenar uzunluklarının birbirinden farklı olması gerektiğini düşündürmektedir (bazı tanımlamalarda kare, dikdörtgenin özel bir hali olarak kabul edilse de, bu tür sorularda bazen kare olmayan dikdörtgenler kastedilir).

Eğer kenar uzunlukları tam sayı ve birbirinden farklı olmak zorundaysa, toplamları 24 olan ve birbirine en yakın iki farklı tam sayı 11 ve 13'tür.

• $a = 11$ cm
• $b = 13$ cm

Bu durumda alan:

$A = 11 \times 13 = 143$ cm² olur.

Diğer farklı tam sayı çiftlerini denediğimizde (örneğin 10 ve 14, alanı $10 \times 14 = 140$ cm² yapar), alanın küçüldüğünü görürüz. Bu nedenle, kenarların farklı olması koşuluyla en büyük alan 143 cm²'dir.

Cevap A seçeneğidir.