Kütlesi 0,5 kg olan bir cisim, düşey düzlemdeki çembersel bir rayın K noktasından serbest bırakılıyor. Rayın L noktasındaki hızı 6 m/s olduğuna göre, K ve L noktaları arasındaki yükseklik farkı kaç metredir? (g = 10 m/s², sürtünmeler önemsizdir)
A) 1,2
B) 1,6
C) 1,8
D) 2,0
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir cismin düşey düzlemde çembersel bir ray üzerindeki hareketini inceliyoruz. Sürtünmelerin önemsiz olduğu belirtildiği için, mekanik enerjinin korunumunu kullanarak çözüme ulaşabiliriz. Haydi adım adım ilerleyelim!
- 1. Verilen Bilgileri Belirleyelim:
- Cismin kütlesi ($m$) = $0,5$ kg
- L noktasındaki hızı ($v_L$) = $6$ m/s
- Yerçekimi ivmesi ($g$) = $10$ m/s²
- Cisim K noktasından serbest bırakılıyor, bu da K noktasındaki ilk hızının ($v_K$) $0$ m/s olduğu anlamına gelir.
- Sürtünmeler önemsizdir.
- 2. Ne Aradığımızı Anlayalım:
- K ve L noktaları arasındaki yükseklik farkını ($h$) bulmamız gerekiyor.
- 3. Hangi İlkeyi Kullanacağımıza Karar Verelim:
- Sürtünmeler önemsiz olduğu için, cismin mekanik enerjisi korunur. Yani K noktasındaki toplam mekanik enerji, L noktasındaki toplam mekanik enerjiye eşit olacaktır.
- Mekanik enerji, kinetik enerji ($E_k = \frac{1}{2}mv^2$) ve potansiyel enerji ($E_p = mgh$) toplamıdır.
- $E_{mekanik, K} = E_{mekanik, L}$
- $E_{k, K} + E_{p, K} = E_{k, L} + E_{p, L}$
- 4. Referans Noktamızı Belirleyelim:
- Potansiyel enerji hesaplamaları için bir referans noktası seçmemiz gerekir. Genellikle en alçak noktayı referans olarak almak işleri kolaylaştırır. Bu durumda, L noktasının yüksekliğini ($h_L$) $0$ kabul edelim.
- O zaman K noktasının yüksekliği ($h_K$) aradığımız yükseklik farkı $h$ olacaktır.
- 5. Enerji Denklemini Kuralım:
- K noktasındaki enerji:
- Kinetik enerji ($E_{k, K}$): Cisim serbest bırakıldığı için hızı $0$'dır. Bu yüzden $E_{k, K} = \frac{1}{2}m(0)^2 = 0$.
- Potansiyel enerji ($E_{p, K}$): L noktasına göre yüksekliği $h$ olduğu için $E_{p, K} = mgh$.
- Toplam mekanik enerji ($E_{mekanik, K}$) = $0 + mgh = mgh$.
- L noktasındaki enerji:
- Kinetik enerji ($E_{k, L}$): Hızı $v_L = 6$ m/s olduğu için $E_{k, L} = \frac{1}{2}mv_L^2 = \frac{1}{2}m(6)^2$.
- Potansiyel enerji ($E_{p, L}$): L noktasını referans aldığımız için yüksekliği $0$'dır. Bu yüzden $E_{p, L} = mg(0) = 0$.
- Toplam mekanik enerji ($E_{mekanik, L}$) = $\frac{1}{2}mv_L^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_L^2$.
- Enerji Korunumu Denklemi:
- $mgh = \frac{1}{2}mv_L^2$
- 6. Denklemi Çözelim:
- Denklemin her iki tarafında da kütle ($m$) olduğu için sadeleştirebiliriz:
- $gh = \frac{1}{2}v_L^2$
- Şimdi bilinen değerleri yerine yazalım: $g = 10$ m/s² ve $v_L = 6$ m/s.
- $10 \times h = \frac{1}{2} \times (6)^2$
- $10h = \frac{1}{2} \times 36$
- $10h = 18$
- $h = \frac{18}{10}$
- $h = 1,8$ metre
Böylece K ve L noktaları arasındaki yükseklik farkını $1,8$ metre olarak bulmuş olduk. Gördüğünüz gibi, enerji korunumu ilkesiyle bu tür problemleri kolayca çözebiliriz!
Cevap C seçeneğidir.
