Genel çekim kanunu (Newton) Test 2

Dünya'dan fırlatılan bir uydu, Dünya çevresinde dairesel yörüngede dolanmaktadır. Uydunun yörünge yarıçapı artarsa aşağıdakilerden hangisi gerçekleşmez?

A) Uydunun yörünge hızı azalır
B) Uydunun periyodu artar
C) Dünya'nın uyduya uyguladığı çekim kuvveti artar
D) Uydunun potansiyel enerjisi artar

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, Dünya çevresinde dairesel yörüngede dolanan bir uydunun yörünge yarıçapı arttığında fiziksel özelliklerinin nasıl değiştiğini anlamamız isteniyor. Hangi seçenekteki durumun gerçekleşmeyeceğini bulmak için her bir seçeneği adım adım inceleyelim.

• Adım 1: Soruyu Anlama ve Temel Prensipleri Hatırlama

  Bir uydu Dünya çevresinde dairesel yörüngede dolanırken, Dünya'nın uyduya uyguladığı kütle çekim kuvveti, uydunun dairesel hareketini sağlayan merkezcil kuvvet görevi görür. Bu temel prensip üzerinden her bir seçeneği değerlendireceğiz.

  Temel formüllerimiz:

  • Kütle Çekim Kuvveti: $F_g = G \frac{M_E m}{r^2}$
  • Merkezcil Kuvvet: $F_c = m \frac{v^2}{r}$
  • Yörünge Hızı: $v$
  • Yörünge Periyodu: $T = \frac{2\pi r}{v}$
  • Kütle Çekim Potansiyel Enerjisi: $U = -G \frac{M_E m}{r}$

  Burada $G$ kütle çekim sabiti, $M_E$ Dünya'nın kütlesi, $m$ uydunun kütlesi ve $r$ yörünge yarıçapıdır.

• Adım 2: Seçenek A'yı İnceleme (Uydunun yörünge hızı azalır)

  Kütle çekim kuvveti merkezcil kuvvete eşit olduğundan:

  $G \frac{M_E m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

  Bu denklemi $v$ için çözersek:

  $v^2 = G \frac{M_E}{r}$

  $v = \sqrt{G \frac{M_E}{r}}$

  Bu formüle göre, yörünge yarıçapı $r$ arttığında, $r$ paydada olduğu için yörünge hızı $v$ azalır. Yani, A seçeneği gerçekleşir.

• Adım 3: Seçenek B'yi İnceleme (Uydunun periyodu artar)

  Periyot, uydunun bir tam turu tamamlama süresidir ve $T = \frac{2\pi r}{v}$ formülüyle bulunur. $v$ için bulduğumuz ifadeyi yerine koyalım:

  $T = \frac{2\pi r}{\sqrt{G \frac{M_E}{r}}} = 2\pi r \sqrt{\frac{r}{G M_E}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_E}}$

  Bu formüle göre (Kepler'in üçüncü yasası), yörünge yarıçapı $r$ arttığında, $r^3$ de artacağı için periyot $T$ artar. Yani, B seçeneği gerçekleşir.

• Adım 4: Seçenek C'yi İnceleme (Dünya'nın uyduya uyguladığı çekim kuvveti artar)

  Kütle çekim kuvveti formülü $F_g = G \frac{M_E m}{r^2}$ idi.

  Bu formülde yörünge yarıçapı $r$ arttığında, $r^2$ değeri de artar. $r^2$ paydada olduğu için, çekim kuvveti $F_g$ azalır. Seçenekte çekim kuvvetinin arttığı belirtilmiştir. Bu durum, yörünge yarıçapı arttığında gerçekleşmez.

• Adım 5: Seçenek D'yi İnceleme (Uydunun potansiyel enerjisi artar)

  Kütle çekim potansiyel enerjisi $U = -G \frac{M_E m}{r}$ formülüyle ifade edilir.

  Bu formülde yörünge yarıçapı $r$ arttığında, paydadaki $r$ değeri artar. Negatif bir ifadenin paydası büyüdükçe, ifadenin mutlak değeri küçülür ve değer sıfıra yaklaşır. Örneğin, $-10$ değeri $-5$ değerinden daha küçüktür. Yani, $-G \frac{M_E m}{r}$ ifadesi sıfıra yaklaştıkça değeri artar (daha az negatif olur). Yani, D seçeneği gerçekleşir.

• Adım 6: Sonuç

  Yaptığımız incelemeler sonucunda, yörünge yarıçapı arttığında A, B ve D seçeneklerindeki durumların gerçekleştiğini, ancak C seçeneğindeki durumun (çekim kuvvetinin artması) gerçekleşmediğini, aksine azaldığını gördük.

Cevap C seçeneğidir.