\( \sqrt{12} \cdot \sqrt{27} \) işleminin sonucu kaçtır?
A) 18Bu soruda, köklü sayılarla çarpma işlemini nasıl yapacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Köklü sayılarla çalışmak, doğru yöntemleri bildiğinizde oldukça eğlencelidir!
İşlemimiz $ \sqrt{12} \cdot \sqrt{27} $ şeklindedir. Çarpma işlemine başlamadan önce, kök içindeki sayıları en sade hallerine getirmek genellikle işimizi kolaylaştırır. Bunun için, kök içindeki sayıların tam kare çarpanlarını buluruz.
Önce $ \sqrt{12} $ sayısını sadeleştirelim:
$ 12 $ sayısının çarpanları arasında en büyük tam kare sayı $ 4 $ olduğu için, $ 12 = 4 \cdot 3 $ şeklinde yazabiliriz.
Bu durumda $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} $ olur. Köklü sayılar özelliğinden $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ olduğunu biliyoruz. Yani $ \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} $ yazabiliriz.
$ \sqrt{4} = 2 $ olduğundan, $ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $ olarak sadeleşir.
Şimdi de $ \sqrt{27} $ sayısını sadeleştirelim:
$ 27 $ sayısının çarpanları arasında en büyük tam kare sayı $ 9 $ olduğu için, $ 27 = 9 \cdot 3 $ şeklinde yazabiliriz.
Bu durumda $ \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} $ olur. Yine aynı özelliği kullanarak $ \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} $ yazabiliriz.
$ \sqrt{9} = 3 $ olduğundan, $ \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $ olarak sadeleşir.
Şimdi sadeleştirdiğimiz köklü sayıları çarpalım:
$ \sqrt{12} \cdot \sqrt{27} = (2\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{3}) $
Köklü sayılarda çarpma işlemi yaparken, kök dışındaki sayıları kendi aralarında, kök içindeki sayıları da kendi aralarında çarparız.
$ (2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) $
$ 6 \cdot (\sqrt{3 \cdot 3}) $
$ 6 \cdot \sqrt{9} $
Son olarak, $ \sqrt{9} $ ifadesinin değerini bulalım.
$ \sqrt{9} = 3 $ olduğunu biliyoruz.
Bu değeri denklemimize yerleştirelim:
$ 6 \cdot 3 = 18 $
Böylece işlemin sonucunu $ 18 $ olarak bulmuş oluruz.
Cevap A seçeneğidir.
