Sayı aralıklarında birleşim işlemi nedir (U) Test 2

10. A = {x ∈ R | |x - 2| ≤ 3} ve B = {x ∈ R | |x + 1| < 2} kümeleri veriliyor. A ∪ B kümesi hangi aralığı temsil eder?

A) (-3, 5]
B) [-1, 5]
C) (-3, 3)
D) [-1, 3)

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda mutlak değer içeren eşitsizliklerle tanımlanmış kümelerin birleşimini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım.

• 1. A kümesini aralık şeklinde ifade edelim:

  $A = \{x \in R | |x - 2| \leq 3\}$ eşitsizliğini çözelim.

  Mutlak değer eşitsizliğinin tanımına göre, $|x - 2| \leq 3$ ifadesi, $-3 \leq x - 2 \leq 3$ şeklinde yazılabilir.

  Şimdi eşitsizliğin her tarafına $2$ ekleyelim:

  $-3 + 2 \leq x - 2 + 2 \leq 3 + 2$

  $-1 \leq x \leq 5$

  Bu durumda, $A$ kümesi kapalı aralık olarak $A = [-1, 5]$ şeklinde ifade edilir.

• 2. B kümesini aralık şeklinde ifade edelim:

  $B = \{x \in R | |x + 1| < 2\}$ eşitsizliğini çözelim.

  Mutlak değer eşitsizliğinin tanımına göre, $|x + 1| < 2$ ifadesi, $-2 < x + 1 < 2$ şeklinde yazılabilir.

  Şimdi eşitsizliğin her tarafından $1$ çıkaralım:

  $-2 - 1 < x + 1 - 1 < 2 - 1$

  $-3 < x < 1$

  Bu durumda, $B$ kümesi açık aralık olarak $B = (-3, 1)$ şeklinde ifade edilir.

• 3. A ve B kümelerinin birleşimini ($A \cup B$) bulalım:

  Şimdi bulduğumuz aralıkları birleştirelim:

  $A = [-1, 5]$

  $B = (-3, 1)$

  Birleşim kümesi, her iki kümedeki tüm elemanları içeren kümedir. Sayı doğrusu üzerinde düşünürsek:

  • $B$ kümesi $-3$'ten (dahil değil) $1$'e (dahil değil) kadar uzanır.
  • $A$ kümesi $-1$'den (dahil) $5$'e (dahil) kadar uzanır.

  Bu iki aralığı birleştirdiğimizde, en küçük değer $-3$ (dahil değil) ve en büyük değer $5$ (dahil) olacaktır. Çünkü $B$ kümesi $-3$'ten başlar ve $A$ kümesi $5$'te biter. $A$ kümesinin başlangıcı olan $-1$, $B$ kümesinin içinde yer alır. Benzer şekilde, $B$ kümesinin bitişi olan $1$, $A$ kümesinin içinde yer alır.

  Dolayısıyla, $A \cup B$ kümesi $(-3, 5]$ aralığını temsil eder.

Cevap A seçeneğidir.