Bir üçgenin kenar uzunlukları 2a, 3a ve 4a'dır. Bu üçgenin çevresi 45 cm'den büyük olduğuna göre, a'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda bir üçgenin kenar uzunlukları ve çevresi ile ilgili bir problem çözüyoruz. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım.
- Adım 1: Üçgenin Çevresini Hesaplayalım
- Bir üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır. Soruda kenar uzunlukları $2a$, $3a$ ve $4a$ olarak verilmiş.
- Çevre ($P$) = $2a + 3a + 4a$
- Bu terimleri toplarsak: $P = (2+3+4)a = 9a$ cm olur.
- Adım 2: Çevre Eşitsizliğini Kullanalım
- Soruda üçgenin çevresinin $45$ cm'den büyük olduğu belirtilmiş. Bu bilgiyi bir eşitsizlik olarak yazabiliriz:
- $P > 45$
- Bulduğumuz çevre ifadesini yerine koyalım: $9a > 45$
- Şimdi $a$'yı bulmak için her iki tarafı $9$'a bölelim:
- $\frac{9a}{9} > \frac{45}{9}$
- $a > 5$
- Bu, $a$'nın $5$'ten büyük olması gerektiği anlamına gelir.
- Adım 3: Üçgen Eşitsizliğini Kontrol Edelim (Önemli Bir Kontrol!)
- Bir üçgenin var olabilmesi için herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Bu kurala "Üçgen Eşitsizliği" denir. Kenarlarımız $2a$, $3a$ ve $4a$.
- Kontrol edelim:
- $2a + 3a > 4a \Rightarrow 5a > 4a$. Bu eşitsizliğin doğru olması için $a > 0$ olmalıdır.
- $2a + 4a > 3a \Rightarrow 6a > 3a$. Bu eşitsizliğin doğru olması için $3a > 0 \Rightarrow a > 0$ olmalıdır.
- $3a + 4a > 2a \Rightarrow 7a > 2a$. Bu eşitsizliğin doğru olması için $5a > 0 \Rightarrow a > 0$ olmalıdır.
- Gördüğümüz gibi, tüm koşullar $a$'nın pozitif olmasını gerektiriyor. Bizim $a > 5$ koşulumuz zaten $a$'nın pozitif olmasını sağlıyor, bu yüzden üçgenin varlığı konusunda bir sorun yok.
- Adım 4: a'nın En Küçük Tam Sayı Değerini Bulalım
- Şimdiye kadar $a > 5$ sonucuna ulaştık.
- Soruda bizden $a$'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri isteniyor.
- $5$'ten büyük olan en küçük tam sayı $6$'dır.
- Yani, $a$'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri $6$'dır.
Cevap A seçeneğidir.
