Bir üçgenin oluşabilmesi için iki temel kural vardır. Bu kuralları adım adım inceleyelim:
- 1. Kural: Kenar Uzunlukları Pozitif Olmalıdır. Bir üçgenin her bir kenarının uzunluğu sıfırdan büyük olmalıdır. Negatif veya sıfır uzunlukta bir kenar olamaz.
- 2. Kural: Üçgen Eşitsizliği Kuralı. Herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Bu kural, üçgenin kapanabilmesi için gereklidir.
Şimdi bu kuralları soruda verilen kenar uzunluklarına uygulayalım. Verilen kenar uzunlukları $2x+1$, $3x-2$ ve $4x+3$'tür.
Adım 1: Kenar Uzunluklarının Pozitif Olması Koşulunu İnceleyelim.
- Birinci kenar: $2x+1 > 0$ olmalıdır. Bu eşitsizliği çözersek: $2x > -1 \implies x > -1/2$.
- İkinci kenar: $3x-2 > 0$ olmalıdır. Bu eşitsizliği çözersek: $3x > 2 \implies x > 2/3$.
- Üçüncü kenar: $4x+3 > 0$ olmalıdır. Bu eşitsizliği çözersek: $4x > -3 \implies x > -3/4$.
- Bu üç koşulun hepsini birden sağlaması gereken $x$ değeri, bu alt sınırların en büyüğünden büyük olmalıdır. Yani $x > 2/3$ (yaklaşık $x > 0.66$) olmalıdır.
Adım 2: Üçgen Eşitsizliği Kuralını Uygulayalım.
- Üçgenin oluşabilmesi için, herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır. Bu durumu üç farklı şekilde kontrol etmeliyiz:
- 1. Eşitsizlik: İlk iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır.
- $(2x+1) + (3x-2) > (4x+3)$
- $5x-1 > 4x+3$
- $5x-4x > 3+1$
- $x > 4$
- 2. Eşitsizlik: Birinci ve üçüncü kenarın toplamı ikinci kenardan büyük olmalıdır.
- $(2x+1) + (4x+3) > (3x-2)$
- $6x+4 > 3x-2$
- $6x-3x > -2-4$
- $3x > -6$
- $x > -2$
- 3. Eşitsizlik: İkinci ve üçüncü kenarın toplamı birinci kenardan büyük olmalıdır.
- $(3x-2) + (4x+3) > (2x+1)$
- $7x+1 > 2x+1$
- $7x-2x > 1-1$
- $5x > 0$
- $x > 0$
Adım 3: Tüm Koşulların Birleştirilmesi.
- Şimdi $x$ için bulduğumuz tüm koşulları bir araya getirelim:
- $x > 2/3$ (kenarların pozitif olması koşulundan)
- $x > 4$ (üçgen eşitsizliğinden)
- $x > -2$ (üçgen eşitsizliğinden)
- $x > 0$ (üçgen eşitsizliğinden)
- Bu dört koşulun hepsini birden sağlayabilmek için $x$ değerinin bu alt sınırların en büyüğünden büyük olması gerekir. Bu durumda $x > 4$ olmalıdır.
Adım 4: x'in Alabileceği En Küçük Tam Sayı Değerinin Bulunması.
- $x > 4$ koşulunu sağlayan en küçük tam sayı değeri $5$'tir.
- Eğer $x=5$ olursa kenar uzunlukları:
- $2(5)+1 = 11$
- $3(5)-2 = 13$
- $4(5)+3 = 23$
- Bu kenarlar pozitif ($11>0, 13>0, 23>0$) ve üçgen eşitsizliğini sağlar ($11+13 > 23 \implies 24 > 23$, doğru).
Cevap B seçeneğidir.
