ve - veya bağlacı nedir? Test 2

p: "x > 5" ve q: "x < 10" önermeleri veriliyor. Buna göre p ∧ q bileşik önermesini sağlayan x değerleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) x > 5
B) x < 10
C) 5 < x < 10
D) x < 5 veya x > 10

Bu soruyu çözmek için, verilen önermelerin ne anlama geldiğini ve mantıksal "VE" ( $\land$ ) bağlacının nasıl çalıştığını adım adım inceleyelim.

• Öncelikle, bize verilen önermeleri hatırlayalım:

  $p$: "$x > 5$" önermesi, $x$ sayısının 5'ten büyük olduğunu ifade eder. Bu, $x$'in 5'ten büyük tüm gerçek sayıları kapsadığı anlamına gelir.

  $q$: "$x < 10$" önermesi, $x$ sayısının 10'dan küçük olduğunu ifade eder. Bu da $x$'in 10'dan küçük tüm gerçek sayıları kapsadığı anlamına gelir.

• Şimdi bizden istenen bileşik önerme $p \land q$'dur. Buradaki "$\land$" sembolü, mantıkta "VE" anlamına gelir. Bu bağlaç, iki önermenin de aynı anda doğru olmasını gerektirir.
• Bir $p \land q$ bileşik önermesinin doğru olabilmesi için, hem $p$ önermesinin doğru olması hem de $q$ önermesinin doğru olması gerekir. Yani, her iki koşulun da aynı anda sağlanması zorunludur. Eğer koşullardan biri bile sağlanmazsa, $p \land q$ önermesi yanlış olur.
• $p$ önermesinin doğru olması için $x$'in 5'ten büyük olması gerekir. Matematiksel olarak bunu $x > 5$ şeklinde yazarız. Sayı doğrusunda 5'in sağındaki tüm noktaları ifade eder.
• $q$ önermesinin doğru olması için $x$'in 10'dan küçük olması gerekir. Matematiksel olarak bunu $x < 10$ şeklinde yazarız. Sayı doğrusunda 10'un solundaki tüm noktaları ifade eder.
• Bu iki koşulu aynı anda sağlayan $x$ değerlerini bulmalıyız. Yani, $x$ hem 5'ten büyük olmalı VE hem de 10'dan küçük olmalıdır. Başka bir deyişle, $x$ sayısı 5 ile 10 arasında yer almalıdır.
• Bu durumu matematiksel olarak birleştirdiğimizde, "$x > 5$" ve "$x < 10$" ifadelerini $5 < x < 10$ şeklinde yazabiliriz. Bu ifade, $x$'in 5'ten büyük ve aynı zamanda 10'dan küçük olduğu anlamına gelir.
• Şimdi seçeneklerimize bakalım ve bulduğumuz sonuçla karşılaştıralım:

  A) $x > 5$: Bu sadece $p$ önermesinin doğru olma koşuludur, $q$ önermesini dikkate almaz.

  B) $x < 10$: Bu sadece $q$ önermesinin doğru olma koşuludur, $p$ önermesini dikkate almaz.

  C) $5 < x < 10$: Bu, $x$'in hem 5'ten büyük hem de 10'dan küçük olduğu durumu ifade eder. Yani, $p \land q$ bileşik önermesinin doğru olma koşuludur ve bizim bulduğumuz sonuçla aynıdır.

  D) $x < 5$ veya $x > 10$: Bu ifade, $x$'in 5'ten küçük veya 10'dan büyük olduğu anlamına gelir. Bu durum, $p \land q$ önermesinin doğru olma koşulunun tam tersidir.

• Dolayısıyla, $p \land q$ bileşik önermesini sağlayan $x$ değerleri $5 < x < 10$ aralığındadır.

Cevap C seçeneğidir.