Köklü sayılarda sıralama

Question

Köklü sayıları sıralarken kök içlerini aynı yapmak ya da üsleri eşitlemek gibi yöntemler kullanıyoruz. Ancak hangi durumda hangi yöntemin daha pratik olduğunu karıştırıyorum. Özellikle kök dereceleri farklı olduğunda nasıl bir yol izlemem gerektiğini tam oturtamadım.

Answer 1

📊 Köklü Sayılarda Sıralama

Köklü sayıları sıralarken dikkat etmemiz gereken bazı kurallar vardır. Bu kuralları öğrendiğimizde köklü sayıları kolayca sıralayabiliriz.

🎯 Temel Kurallar

• ✅ Kök dereceleri aynı ise: Kök içindeki sayılar karşılaştırılır.
• ✅ Kök içleri aynı ise: Kök dereceleri karşılaştırılır.
• ✅ Hem kök dereceleri hem de kök içleri farklı ise: Sayıları aynı kök derecesine getirerek karşılaştırma yaparız.

🔢 Kök Dereceleri Aynı İse

Kök dereceleri eşitse, kök içindeki sayılar büyük olan daha büyüktür.

Örnek: \( \sqrt[3]{15} \) ve \( \sqrt[3]{8} \) sayılarını karşılaştıralım.

Her ikisinin de kök derecesi 3 olduğu için kök içlerine bakarız: 15 > 8

Sonuç: \( \sqrt[3]{15} > \sqrt[3]{8} \)

📐 Kök İçleri Aynı İse

Kök içleri eşitse, kök derecesi küçük olan daha büyüktür.

Örnek: \( \sqrt[4]{16} \) ve \( \sqrt[2]{16} \) sayılarını karşılaştıralım.

Her ikisinin de kök içi 16 olduğu için kök derecelerine bakarız: 2 < 4

Sonuç: \( \sqrt[2]{16} > \sqrt[4]{16} \)

🔄 Hem Kök Dereceleri Hem de Kök İçleri Farklı İse

Bu durumda köklü sayıları karşılaştırmak için önce kök derecelerini eşitleriz.

Örnek: \( \sqrt[3]{5} \) ve \( \sqrt{2} \) sayılarını karşılaştıralım.

Adım 1: Kök derecelerinin OKEK'ini bulalım: 3 ve 2'nin OKEK'i 6'dır.

Adım 2: Her iki sayıyı da 6. dereceden kök olarak yazalım:

\( \sqrt[3]{5} = \sqrt[6]{5^2} = \sqrt[6]{25} \)

\( \sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8} \)

Adım 3: Şimdi kök dereceleri eşit olduğu için kök içlerini karşılaştıralım: 25 > 8

Sonuç: \( \sqrt[3]{5} > \sqrt{2} \)

💡 Önemli İpuçları

• 📌 Köklü sayıları sıralarken her zaman pozitif sayılar olduğunu varsayıyoruz.
• 📌 Kök dereceleri ve kök içleri farklı ise, kök derecelerini eşitlemek için OKEK kullanırız.
• 📌 Köklü sayıları karşılaştırırken üslü ifadelere dönüştürmek de işimizi kolaylaştırabilir.

🧮 Örnek Çözüm

\( \sqrt[4]{9} \), \( \sqrt[3]{5} \), \( \sqrt{3} \) sayılarını küçükten büyüğe sıralayalım.

Adım 1: Kök derecelerinin OKEK'ini bulalım: 4, 3, 2 → OKEK = 12

Adım 2: Tüm sayıları 12. dereceden kök olarak yazalım:

• \( \sqrt[4]{9} = \sqrt[12]{9^3} = \sqrt[12]{729} \)
• \( \sqrt[3]{5} = \sqrt[12]{5^4} = \sqrt[12]{625} \)
• \( \sqrt{3} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729} \)

Adım 3: Kök içlerini karşılaştıralım: 625 < 729 = 729

Sonuç: \( \sqrt[3]{5} < \sqrt[4]{9} = \sqrt{3} \)