Bir bisikletli doğu yönünde 10 m/s hızla giderken rüzgar kuzey yönünde 5 m/s hızla esiyor. Bisikletlinin rüzgara göre bağıl hızının büyüklüğü için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Skaler büyüklüktür, 15 m/s'dir
B) Vektörel büyüklüktür, 15 m/s'dir
C) Skaler büyüklüktür, 5√5 m/s'dir
D) Vektörel büyüklüktür, 5√5 m/s'dir
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bisikletlinin ve rüzgarın hızları farklı yönlerde olduğu için, bağıl hız kavramını ve vektör işlemlerini kullanarak sonuca ulaşacağız. Bağıl hız, bir gözlemcinin başka bir cisme göre hareketini ifade eder ve yönü olduğu için vektörel bir büyüklüktür. Hadi adım adım inceleyelim:
- Verilen Hızları Belirleyelim:
- Bisikletlinin hızı ($\vec{V}_B$): Doğu yönünde $10 \text{ m/s}$. Doğu yönünü pozitif x ekseni olarak kabul edebiliriz. Yani, $\vec{V}_B = (10, 0) \text{ m/s}$.
- Rüzgarın hızı ($\vec{V}_R$): Kuzey yönünde $5 \text{ m/s}$. Kuzey yönünü pozitif y ekseni olarak kabul edebiliriz. Yani, $\vec{V}_R = (0, 5) \text{ m/s}$.
- Bağıl Hız Kavramını Anlayalım:
- Bisikletlinin rüzgara göre bağıl hızı, rüzgarın bisikletliyi nasıl algıladığı veya rüzgarın referans sisteminden bakıldığında bisikletlinin hızı demektir. Matematiksel olarak, bisikletlinin hızından rüzgarın hızını vektörel olarak çıkarmamız gerekir: $\vec{V}_{BR} = \vec{V}_B - \vec{V}_R$.
- Bağıl Hız Vektörünü Hesaplayalım:
- Vektör çıkarma işlemini yapalım:
- $\vec{V}_{BR} = (10, 0) - (0, 5)$
- $\vec{V}_{BR} = (10 - 0, 0 - 5)$
- $\vec{V}_{BR} = (10, -5) \text{ m/s}$
- Bu vektör, bisikletlinin rüzgara göre bağıl hızının hem büyüklüğünü hem de yönünü gösterir. Pozitif x bileşeni (doğu) ve negatif y bileşeni (güney) olduğu için, bağıl hız güneydoğu yönündedir.
- Bağıl Hızın Büyüklüğünü Bulalım:
- Bir vektörün büyüklüğü, Pisagor teoremi kullanılarak bulunur. $\vec{V}_{BR} = (V_x, V_y)$ ise, büyüklüğü $|\vec{V}_{BR}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}$ formülüyle hesaplanır.
- $|\vec{V}_{BR}| = \sqrt{10^2 + (-5)^2}$
- $|\vec{V}_{BR}| = \sqrt{100 + 25}$
- $|\vec{V}_{BR}| = \sqrt{125}$
- $\sqrt{125}$ ifadesini sadeleştirelim: $\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = \sqrt{25} \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
- Yani, bağıl hızın büyüklüğü $5\sqrt{5} \text{ m/s}$'dir.
- Bağıl Hızın Türünü Belirleyelim:
- Hız, yönü ve büyüklüğü olan vektörel bir büyüklüktür. Bağıl hız da aynı şekilde vektörel bir büyüklüktür. Soruda "bağıl hızının büyüklüğü" sorulsa da, seçeneklerde bağıl hızın kendisinin vektörel mi yoksa skaler mi olduğu sorulmaktadır. Bağıl hız vektörel bir kavramdır, ancak onun büyüklüğü skaler bir değerdir. Seçenekler, bağıl hızın doğasını (vektörel/skaler) ve ardından büyüklüğünü belirtmemizi istiyor. Bu nedenle, bağıl hız vektörel bir büyüklüktür.
Tüm bu adımları birleştirdiğimizde, bisikletlinin rüzgara göre bağıl hızı vektörel bir büyüklüktür ve büyüklüğü $5\sqrt{5} \text{ m/s}$'dir.
Cevap D seçeneğidir.
