Gerçel sayılar kümesinde (-∞, 5) ifadesi ne tür bir aralıktır?
A) Kapalı aralıkBu soruda, gerçel sayılar kümesinde verilen $(-\infty, 5)$ ifadesinin ne tür bir aralık olduğunu belirlememiz isteniyor. Gelin, adım adım bu ifadeyi inceleyelim ve aralık türlerini hatırlayalım.
Verilen ifade $(-\infty, 5)$ şeklindedir. Bu, gerçel sayılar kümesinde $5$'ten küçük olan tüm sayıları kapsar. Yani, $x < 5$ koşulunu sağlayan tüm $x$ gerçel sayılarını ifade eder.
Burada dikkat etmemiz gereken noktalar şunlardır:
Sol tarafta $-\infty$ (eksi sonsuz) bulunmaktadır. Sonsuzluk bir sayı değildir ve bir aralığın sınırı olarak kullanıldığında her zaman parantez `(` veya `)` ile gösterilir, çünkü sonsuzluk hiçbir zaman aralığa dahil edilemez.
Sağ tarafta $5$ sayısı bulunmaktadır ve bu sayının yanında parantez `)` işareti kullanılmıştır. Bu, $5$ sayısının aralığa dahil edilmediği anlamına gelir.
Gerçel sayılar kümesindeki temel aralık türleri şunlardır:
Açık Aralık: Uç noktaların aralığa dahil edilmediği aralıklardır. Genellikle parantez `(` ve `)` ile gösterilir. Örneğin, $(a, b)$ ifadesi $a < x < b$ anlamına gelir.
Kapalı Aralık: Uç noktaların aralığa dahil edildiği aralıklardır. Genellikle köşeli parantez `[` ve `]` ile gösterilir. Örneğin, $[a, b]$ ifadesi $a \le x \le b$ anlamına gelir.
Yarı Açık (veya Yarı Kapalı) Aralık: Bir ucun dahil, diğer ucun dahil olmadığı aralıklardır. Örneğin, $[a, b)$ ifadesi $a \le x < b$ anlamına gelirken, $(a, b]$ ifadesi $a < x \le b$ anlamına gelir.
Sınırlı ve Sınırsız Aralıklar: Eğer bir aralığın her iki ucu da sonlu birer sayı ise bu aralığa sınırlı aralık denir (örneğin, $(2, 7)$ veya $[1, 5]$). Eğer aralığın bir veya iki ucu sonsuzluk içeriyorsa (yani $-\infty$ veya $+\infty$) bu aralığa sınırsız aralık denir (örneğin, $(-\infty, 5)$ veya $[3, \infty)$).
Şimdi $(-\infty, 5)$ ifadesini yukarıdaki tanımlara göre inceleyelim:
Sağ uçta $5$ sayısı parantez `)` ile gösterildiği için aralığa dahil değildir.
Sol uçta $-\infty$ olduğu için, bu uç da aralığa dahil değildir (sonsuzluk hiçbir zaman dahil edilemez).
Her iki "ucun" da aralığa dahil edilmemesi durumu, açık aralık tanımına uyar.
Ayrıca, aralığın bir ucu $-\infty$ olduğu için bu aralık aynı zamanda sınırsız bir aralıktır. Ancak seçeneklerde "sınırsız aralık" diye bir şık yok, "sınırlı aralık" var. Bu aralık sınırlı olmadığı için D seçeneği elenir.
A) Kapalı aralık: Yanlış. Kapalı aralıkta uç noktalar dahil edilir ve köşeli parantez kullanılır.
B) Açık aralık: Doğru. Uç noktalar dahil edilmez ve parantez kullanılır.
C) Yarı açık aralık: Yanlış. Yarı açık aralıkta bir uç dahil, diğer uç dahil değildir (bir köşeli, bir normal parantez kullanılır).
D) Sınırlı aralık: Yanlış. Bu aralık $-\infty$ içerdiği için sınırsız bir aralıktır.
Bu durumda, $(-\infty, 5)$ ifadesi açık aralık tanımına uymaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
