Açık aralık nedir ( ) Test 2

A = {x ∈ ℝ | -1 < x < 3} kümesi veriliyor.
Bu küme için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) -1 ∈ A ve 3 ∈ A
B) -1 ∉ A ve 3 ∉ A
C) -1 ∈ A ve 3 ∉ A
D) -1 ∉ A ve 3 ∈ A

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, verilen bir kümenin tanımına göre belirli elemanların bu kümeye dahil olup olmadığını anlamamız isteniyor. Adım adım inceleyelim:

• Kümeyi Anlayalım:

  Verilen küme $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x < 3\}$ şeklindedir. Bu ifadeyi açarsak:

  • $x \in \mathbb{R}$: Bu, $x$'in bir gerçek (reel) sayı olduğunu belirtir. Yani kesirli, ondalıklı veya tam sayı olabilir.
  • $-1 < x < 3$: Bu, $x$'in alabileceği değerler için koşuldur. Bu koşul iki parçadan oluşur: $x > -1$ (x, -1'den büyüktür) ve $x < 3$ (x, 3'ten küçüktür).

  Önemli olan, eşitsizlik işaretlerinin kesin eşitsizlik (yani $<$, $>$ ) olmasıdır. Bu, uç noktaların (yani $-1$ ve $3$) kümeye dahil olmadığı anlamına gelir.

• $-1$ Elemanının Kümeye Dahil Olup Olmadığını İnceleyelim:

  $-1$ sayısının $A$ kümesine ait olup olmadığını anlamak için, $x = -1$ değerini kümenin koşuluna yerleştirmemiz gerekir: $-1 < -1 < 3$.

  Bu koşulun ilk kısmı olan $-1 < -1$ ifadesi yanlıştır. Bir sayı kendisinden kesinlikle büyük olamaz. Eğer koşul $-1 \le x$ şeklinde olsaydı, $-1$ kümeye dahil olabilirdi. Ancak burada kesin eşitsizlik olduğu için, $-1$ sayısı $A$ kümesine ait değildir. Matematiksel olarak $-1 \notin A$ şeklinde gösterilir.

• $3$ Elemanının Kümeye Dahil Olup Olmadığını İnceleyelim:

  $3$ sayısının $A$ kümesine ait olup olmadığını anlamak için, $x = 3$ değerini kümenin koşuluna yerleştirmemiz gerekir: $-1 < 3 < 3$.

  Bu koşulun ikinci kısmı olan $3 < 3$ ifadesi yanlıştır. Bir sayı kendisinden kesinlikle küçük olamaz. Eğer koşul $x \le 3$ şeklinde olsaydı, $3$ kümeye dahil olabilirdi. Ancak burada kesin eşitsizlik olduğu için, $3$ sayısı $A$ kümesine ait değildir. Matematiksel olarak $3 \notin A$ şeklinde gösterilir.

• Sonuçları Değerlendirelim:

  Yaptığımız incelemeler sonucunda hem $-1$'in hem de $3$'ün $A$ kümesine ait olmadığını bulduk. Yani $-1 \notin A$ ve $3 \notin A$ ifadeleri doğrudur.

• Seçenekleri Kontrol Edelim:
  • A) $-1 \in A$ ve $3 \in A$ (Yanlış)
  • B) $-1 \notin A$ ve $3 \notin A$ (Doğru)
  • C) $-1 \in A$ ve $3 \notin A$ (Yanlış)
  • D) $-1 \notin A$ ve $3 \in A$ (Yanlış)

Cevap B seçeneğidir.