p ∧ (q ∨ r) önermesi aşağıdaki durumların hangisinde yanlıştır?
A) p doğru, q doğru, r yanlış
B) p doğru, q yanlış, r doğru
C) p yanlış, q doğru, r doğru
D) p doğru, q doğru, r doğru
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, $p \land (q \lor r)$ şeklindeki bileşik önermenin hangi durumda yanlış olacağını bulmamız isteniyor. Mantıkta önermelerin doğruluk değerlerini (doğru (D) veya yanlış (Y)) belirlerken "ve" ($\land$) ve "veya" ($\lor$) bağlaçlarının kurallarını iyi bilmemiz gerekir.
- "Ve" ($\land$) bağlacının kuralı: Bir $A \land B$ önermesi, ancak ve ancak hem $A$ hem de $B$ doğru olduğunda doğrudur. Diğer tüm durumlarda yanlıştır. Yani, $A$ yanlışsa veya $B$ yanlışsa veya her ikisi de yanlışsa, $A \land B$ yanlıştır.
- "Veya" ($\lor$) bağlacının kuralı: Bir $A \lor B$ önermesi, ancak ve ancak hem $A$ hem de $B$ yanlış olduğunda yanlıştır. Diğer tüm durumlarda doğrudur. Yani, $A$ doğruysa veya $B$ doğruysa veya her ikisi de doğruysa, $A \lor B$ doğrudur.
Şimdi $p \land (q \lor r)$ önermesinin yanlış olması için ne olması gerektiğini düşünelim:
- $p \land (q \lor r)$ önermesinin yanlış olması için, "ve" bağlacının kuralına göre, ya $p$ önermesinin yanlış olması gerekir, ya da $(q \lor r)$ önermesinin yanlış olması gerekir.
Şimdi her bir seçeneği tek tek inceleyelim:
- A) p doğru, q doğru, r yanlış
- Önce parantez içindeki $(q \lor r)$ ifadesini bulalım: $q$ doğru (D), $r$ yanlış (Y).
- $D \lor Y$ önermesi, "veya" bağlacının kuralına göre doğrudur. Yani $(q \lor r) \equiv D$.
- Şimdi ana önermeyi bulalım: $p \land (q \lor r) \implies D \land D$.
- $D \land D$ önermesi, "ve" bağlacının kuralına göre doğrudur. Bu seçenek yanlışı vermedi.
- B) p doğru, q yanlış, r doğru
- Önce parantez içindeki $(q \lor r)$ ifadesini bulalım: $q$ yanlış (Y), $r$ doğru (D).
- $Y \lor D$ önermesi, "veya" bağlacının kuralına göre doğrudur. Yani $(q \lor r) \equiv D$.
- Şimdi ana önermeyi bulalım: $p \land (q \lor r) \implies D \land D$.
- $D \land D$ önermesi, "ve" bağlacının kuralına göre doğrudur. Bu seçenek yanlışı vermedi.
- C) p yanlış, q doğru, r doğru
- Önce parantez içindeki $(q \lor r)$ ifadesini bulalım: $q$ doğru (D), $r$ doğru (D).
- $D \lor D$ önermesi, "veya" bağlacının kuralına göre doğrudur. Yani $(q \lor r) \equiv D$.
- Şimdi ana önermeyi bulalım: $p \land (q \lor r) \implies Y \land D$.
- $Y \land D$ önermesi, "ve" bağlacının kuralına göre yanlıştır (çünkü $p$ yanlış). İşte aradığımız durum bu!
- D) p doğru, q doğru, r doğru
- Önce parantez içindeki $(q \lor r)$ ifadesini bulalım: $q$ doğru (D), $r$ doğru (D).
- $D \lor D$ önermesi, "veya" bağlacının kuralına göre doğrudur. Yani $(q \lor r) \equiv D$.
- Şimdi ana önermeyi bulalım: $p \land (q \lor r) \implies D \land D$.
- $D \land D$ önermesi, "ve" bağlacının kuralına göre doğrudur. Bu seçenek de yanlışı vermedi.
Gördüğümüz gibi, C seçeneğinde $p$ önermesi yanlış olduğu için, $p \land (q \lor r)$ bileşik önermesi de yanlış olmaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
