1'den 36'ya kadar numaralandırılmış 36 top bir torbaya konulmuştur. Torbadan rastgele seçilen toplardan en az kaç tanesinin numaraları toplamının 37 olduğu kesindir?
A) 19Bu tür soruları çözerken, en kötü senaryoyu düşünerek kesinliği sağlamak için kaç adıma ihtiyacımız olduğunu buluruz. Bu, genellikle güvercin yuvası prensibi olarak bilinen bir mantık yürütme yöntemidir. Amacımız, iki topun numaraları toplamının 37 olduğu bir durumu kesinlikle elde etmek için en az kaç top çekmemiz gerektiğini bulmaktır. Adım adım ilerleyelim:
1'den 36'ya kadar olan sayılar arasında, numaraları toplamı 37 eden tüm farklı çiftleri listeleyelim:
$1 + 36 = 37$
$2 + 35 = 37$
$3 + 34 = 37$
...
$18 + 19 = 37$
Bu şekilde toplam 18 tane farklı sayı çifti bulunmaktadır. Her bir çift, bizim için bir "güvercin yuvası" gibi düşünülebilir. Eğer bir çiftten her iki sayıyı da seçersek, istediğimiz koşul (toplamın 37 olması) gerçekleşmiş olur.
Amacımız, toplamı 37 olan bir çifti oluşturmaktan kaçınarak mümkün olduğunca çok top çekmektir. Her bir çift için (örneğin $(1, 36)$ çifti), eğer 1'i seçersek 36'yı seçemeyiz, ya da 36'yı seçersek 1'i seçemeyiz. Yani, her bir çiftten en fazla bir top seçebiliriz.
Elimizde 18 tane çift olduğuna göre, bu 18 çiftten her birinden birer top seçerek toplam 18 top çekebiliriz ve bu topların hiçbirinin toplamı 37 etmez. Örneğin, şu sayıları seçmiş olabiliriz:
$\{1, 2, 3, ..., 18\}$ kümesini seçmiş olabiliriz. Bu kümedeki herhangi iki sayının toplamı en fazla $17 + 18 = 35$'tir, yani 37 değildir.
Veya $\{19, 20, 21, ..., 36\}$ kümesini seçmiş olabiliriz. Bu kümedeki herhangi iki sayının toplamı en az $19 + 20 = 39$'dur, yani 37 değildir.
Bu senaryoda, 18 top çektik ve henüz numaraları toplamı 37 olan bir çiftimiz yok. Bu, koşulun gerçekleşmediği en fazla top sayısıdır.
İlk 18 topu, toplamı 37 etmeyen bir şekilde seçtiğimizi varsayalım (örneğin $\{1, 2, ..., 18\}$ kümesini seçtik). Şimdi 19. topu çekme sırası geldi. Kalan toplar ise $\{19, 20, ..., 36\}$ kümesidir.
19. topu çektiğimizde, bu top mutlaka kalan sayılardan biri olacaktır. Çektiğimiz 19. top hangi sayı olursa olsun, bu sayının 37'ye tamamlayanı (yani $37 - \text{çekilen sayı}$) ilk 18 top içinde mutlaka bulunacaktır. Çünkü ilk 18 topu seçerken, her bir çiftin bir elemanını seçmiş ve diğer elemanını dışarıda bırakmıştık.
Örneğin:
Eğer 19. top olarak 19'u çekersek, $19 + 18 = 37$ olur. (18 zaten seçiliydi)
Eğer 19. top olarak 20'yi çekersek, $20 + 17 = 37$ olur. (17 zaten seçiliydi)
...
Eğer 19. top olarak 36'yı çekersek, $36 + 1 = 37$ olur. (1 zaten seçiliydi)
Bu durumda, 19. topu çektiğimiz anda, kesinlikle numaraları toplamı 37 olan bir çift elde etmiş oluruz.
Dolayısıyla, torbadan rastgele seçilen toplardan en az 19 tanesinin numaraları toplamının 37 olduğu kesindir.
Cevap A seçeneğidir.
