20, 25, 30, 35, 40 sayılarının standart sapması yaklaşık kaçtır?
A) 5
B) 7
C) 10
D) 15
Standart sapma, bir veri setindeki sayıların ortalamadan ne kadar uzaklaştığını, yani verilerin ne kadar dağınık olduğunu gösteren önemli bir istatistiksel ölçüdür. Şimdi bu soruyu adım adım çözerek standart sapmayı nasıl hesaplayacağımızı öğrenelim.
- Adım 1: Aritmetik Ortalamayı (Ortalama) Bulma
- Veri setindeki tüm sayıları toplarız.
- Toplamı, veri setindeki sayı adedine böleriz.
- Sayılarımız: 20, 25, 30, 35, 40
- Toplam: $20 + 25 + 30 + 35 + 40 = 150$
- Sayı adedi (n): 5
- Ortalama ($\bar{x}$): $ rac{150}{5} = 30$
- Adım 2: Her Bir Sayının Ortalamadan Farkını Bulma
- Her bir veri noktasından ortalamayı çıkarırız.
- $20 - 30 = -10$
- $25 - 30 = -5$
- $30 - 30 = 0$
- $35 - 30 = 5$
- $40 - 30 = 10$
- Adım 3: Farkların Karelerini Alma
- Önceki adımda bulduğumuz farkların her birinin karesini alırız. Bu, negatif değerleri pozitif yapar ve büyük farkları daha da vurgular.
- $(-10)^2 = 100$
- $(-5)^2 = 25$
- $(0)^2 = 0$
- $(5)^2 = 25$
- $(10)^2 = 100$
- Adım 4: Karelerin Toplamını Bulma
- Karelerini aldığımız farkları toplarız.
- Kareler toplamı: $100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250$
- Adım 5: Varyansı Bulma (Örneklem Varyansı)
- Kareler toplamını, sayı adedinin bir eksiğine (n-1) böleriz. Bu, genellikle küçük veri setleri için kullanılan "örneklem standart sapması" hesaplamasında yapılır. Eğer tüm popülasyonu temsil eden bir veri setimiz olsaydı, n'e bölerdik.
- n = 5 olduğu için, n-1 = 4
- Varyans ($s^2$): $ rac{250}{4} = 62.5$
- Adım 6: Standart Sapmayı Bulma
- Varyansın karekökünü alarak standart sapmayı buluruz.
- Standart Sapma (s): $\sqrt{62.5}$
- Bu değeri yaklaşık olarak hesaplayalım:
- $\sqrt{49} = 7$
- $\sqrt{64} = 8$
- $62.5$, $49$ ve $64$ arasında olduğu için, karekökü de $7$ ve $8$ arasında olacaktır.
- $7.9^2 = 62.41$
- Yani, $\sqrt{62.5}$ yaklaşık olarak $7.9$'dur.
Bulduğumuz standart sapma değeri yaklaşık $7.9$'dur. Seçeneklere baktığımızda, bu değere en yakın olan seçenek B) 7'dir.
Cevap B seçeneğidir.
