Bir madeni para koleksiyoncusunun 1 TL'lik, 50 kuruşluk ve 25 kuruşluk paralardan oluşan toplam 12 adet parası vardır. Bu paraların toplam değeri 7 TL 75 kuruş olduğuna göre, koleksiyoncunun kaç tane 25 kuruşluk parası vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, farklı değerdeki madeni paraların toplam sayısını ve toplam değerini kullanarak belirli bir madeni paranın sayısını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.
- Adım 1: Birimleri Eşitleme
- Öncelikle, problemdeki tüm para birimlerini aynı birime, yani kuruşa çevirelim. Çünkü 1 TL ve kuruş bir arada kullanılmış.
- Biliyoruz ki 1 TL = 100 kuruş.
- Koleksiyoncunun paralarının toplam değeri 7 TL 75 kuruş olduğuna göre, bunu kuruşa çevirelim:
- $7 \text{ TL} = 7 \times 100 = 700 \text{ kuruş}$
- Toplam değer: $700 \text{ kuruş} + 75 \text{ kuruş} = 775 \text{ kuruş}$.
- Adım 2: Değişkenleri Tanımlama
- Şimdi, her bir madeni para türünün sayısını temsil etmek için harfler kullanalım:
- 1 TL'lik paraların sayısı: $x$
- 50 kuruşluk paraların sayısı: $y$
- 25 kuruşluk paraların sayısı: $z$
- Unutmayalım ki $x, y, z$ birer tam sayı olmalı ve sıfırdan küçük olamazlar (yani $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$).
- Adım 3: Denklemleri Kurma
- Problemde verilen bilgilere göre iki denklem oluşturabiliriz:
- Toplam para sayısı denklemi: Koleksiyoncunun toplam 12 adet parası olduğu belirtilmiş.
- $x + y + z = 12$ (Denklem 1)
- Toplam para değeri denklemi: Paraların toplam değeri 775 kuruş olarak hesaplanmıştı.
- $1 \text{ TL} = 100 \text{ kuruş}$ olduğu için, 1 TL'lik $x$ adet paranın değeri $100x$ kuruş olur.
- $50$ kuruşluk $y$ adet paranın değeri $50y$ kuruş olur.
- $25$ kuruşluk $z$ adet paranın değeri $25z$ kuruş olur.
- $100x + 50y + 25z = 775$ (Denklem 2)
- Adım 4: Denklemleri Sadeleştirme ve Çözüme Yönelme
- Denklem 2'yi daha basit hale getirebiliriz. Gördüğümüz gibi, tüm terimler (100, 50, 25 ve 775) 25'e bölünebilir. Denklemin her iki tarafını 25'e bölelim:
- $(100x / 25) + (50y / 25) + (25z / 25) = (775 / 25)$
- $4x + 2y + z = 31$ (Sadeleştirilmiş Denklem 2)
- Şimdi elimizde iki denklem var:
- 1. $x + y + z = 12$
- 2. $4x + 2y + z = 31$
- Birinci denklemden $z$'yi çekip (yani $z = 12 - x - y$) bu ifadeyi ikinci denkleme yerine yazarak $z$ değişkenini ortadan kaldıralım:
- $4x + 2y + (12 - x - y) = 31$
- Benzer terimleri bir araya getirelim:
- $4x - x + 2y - y + 12 = 31$
- $3x + y + 12 = 31$
- Şimdi 12'yi denklemin sağ tarafına atalım:
- $3x + y = 31 - 12$
- $3x + y = 19$ (Denklem 3)
- Adım 5: Olası Değerleri Deneme
- Şimdi $3x + y = 19$ denklemini kullanarak $x$ ve $y$ için uygun tam sayı değerlerini bulmaya çalışalım. Unutmayın, $x, y, z$ sıfırdan küçük olamaz. Ayrıca, $z = 12 - x - y$ olduğu için, $x+y$ toplamı 12'den büyük olamaz (aksi takdirde $z$ negatif olur).
- $x$ için 0'dan başlayarak değerler deneyelim:
- Eğer $x = 0$ ise, $y = 19$. Bu durumda $z = 12 - 0 - 19 = -7$ olur. (Geçersiz, çünkü para sayısı negatif olamaz.)
- Eğer $x = 1$ ise, $y = 16$. Bu durumda $z = 12 - 1 - 16 = -5$ olur. (Geçersiz)
- Eğer $x = 2$ ise, $y = 13$. Bu durumda $z = 12 - 2 - 13 = -3$ olur. (Geçersiz)
- Eğer $x = 3$ ise, $y = 10$. Bu durumda $z = 12 - 3 - 10 = -1$ olur. (Geçersiz)
- Eğer $x = 4$ ise, $y = 19 - 3(4) = 19 - 12 = 7$. Bu durumda $z = 12 - 4 - 7 = 1$ olur. (Bu geçerli bir çözümdür: 4 adet 1 TL, 7 adet 50 kuruş, 1 adet 25 kuruş.)
- Eğer $x = 5$ ise, $y = 19 - 3(5) = 19 - 15 = 4$. Bu durumda $z = 12 - 5 - 4 = 3$ olur. (Bu da geçerli bir çözümdür: 5 adet 1 TL, 4 adet 50 kuruş, 3 adet 25 kuruş.)
- Eğer $x = 6$ ise, $y = 19 - 3(6) = 19 - 18 = 1$. Bu durumda $z = 12 - 6 - 1 = 5$ olur. (Bu da geçerli bir çözümdür: 6 adet 1 TL, 1 adet 50 kuruş, 5 adet 25 kuruş.)
- Eğer $x = 7$ ise, $y = 19 - 3(7) = 19 - 21 = -2$ olur. (Geçersiz, $y$ negatif olamaz.)
- Adım 6: Doğru Cevabı Belirleme
- Gördüğümüz gibi, sorunun koşullarını sağlayan birden fazla çözüm kümesi bulunmaktadır. Ancak seçeneklerde sadece bir tanesi yer almaktadır.
- Bulduğumuz geçerli $z$ değerleri (25 kuruşluk paraların sayısı) 1, 3 ve 5'tir.
- Seçeneklere baktığımızda, C) 5 seçeneği bu değerlerden biridir.
- Bu durumda koleksiyoncunun 5 tane 25 kuruşluk parası vardır.
Cevap C seçeneğidir.
