9. Sınıf Yansıma Dönüşümünün Özellikleri Nedir? Test 1

Bir ABC üçgeninin x eksenine göre yansıması alındığında A'B'C' üçgeni elde ediliyor. A(2,3), B(5,1), C(1,-2) noktaları verildiğine göre, yansıma sonucu oluşan üçgenin alanı ile orijinal üçgenin alanı arasındaki ilişki nedir?

A) Yansıma sonucu alan değişmez
B) Yansıma sonucu alan iki katına çıkar
C) Yansıma sonucu alan yarıya iner
D) Yansıma sonucu alan dört katına çıkar

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir üçgenin x eksenine göre yansıması alındığında alanının nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Geometrik dönüşümlerin şekillerin özelliklerini nasıl etkilediğini anlamak için harika bir örnek.

• 1. X Ekseni Yansımasını Anlayalım:

  Bir noktanın x eksenine göre yansıması alındığında, noktanın x koordinatı aynı kalır, y koordinatı ise işaret değiştirir. Yani, bir $(x,y)$ noktasının yansıması $(x,-y)$ olur.

• 2. Orijinal Üçgenin Köşe Noktaları:

  Bize verilen ABC üçgeninin köşe noktaları şunlardır:

  • $A(2,3)$
  • $B(5,1)$
  • $C(1,-2)$
• 3. Yansıma Sonucu Oluşan Üçgenin Köşe Noktalarını Bulalım:

  Her bir noktanın x eksenine göre yansımasını alarak A'B'C' üçgeninin köşe noktalarını bulalım:

  • $A(2,3) \rightarrow A'(2,-3)$
  • $B(5,1) \rightarrow B'(5,-1)$
  • $C(1,-2) \rightarrow C'(1,-(-2)) = C'(1,2)$
• 4. Üçgenin Alanını Hesaplama Yöntemi:

  Köşe noktaları $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ olan bir üçgenin alanını "Ayakkabı Bağı Formülü" (Shoelace Formula) ile hesaplayabiliriz. Formül şöyledir:

  $Alan = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1)|$

• 5. Orijinal Üçgen ABC'nin Alanını Hesaplayalım:

  $A(2,3)$, $B(5,1)$, $C(1,-2)$ noktalarını kullanarak alanı bulalım:

  • $Alan_{ABC} = \frac{1}{2} |(2 \cdot 1 + 5 \cdot (-2) + 1 \cdot 3) - (3 \cdot 5 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 2)|$
  • $Alan_{ABC} = \frac{1}{2} |(2 - 10 + 3) - (15 + 1 - 4)|$
  • $Alan_{ABC} = \frac{1}{2} |(-5) - (12)|$
  • $Alan_{ABC} = \frac{1}{2} |-17|$
  • $Alan_{ABC} = \frac{17}{2}$ birim kare.
• 6. Yansıyan Üçgen A'B'C'nün Alanını Hesaplayalım:

  $A'(2,-3)$, $B'(5,-1)$, $C'(1,2)$ noktalarını kullanarak alanı bulalım:

  • $Alan_{A'B'C'} = \frac{1}{2} |(2 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 1 \cdot (-3)) - ((-3) \cdot 5 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 2)|$
  • $Alan_{A'B'C'} = \frac{1}{2} |(-2 + 10 - 3) - (-15 - 1 + 4)|$
  • $Alan_{A'B'C'} = \frac{1}{2} |(5) - (-12)|$
  • $Alan_{A'B'C'} = \frac{1}{2} |5 + 12|$
  • $Alan_{A'B'C'} = \frac{1}{2} |17|$
  • $Alan_{A'B'C'} = \frac{17}{2}$ birim kare.
• 7. Alanları Karşılaştıralım:

  Gördüğümüz gibi, orijinal üçgenin alanı $Alan_{ABC} = \frac{17}{2}$ birim kare ve yansıyan üçgenin alanı $Alan_{A'B'C'} = \frac{17}{2}$ birim kare olarak bulunmuştur. Bu iki alan birbirine eşittir.

• 8. Geometrik Dönüşümler ve Alan İlişkisi:

  Yansıma, öteleme (kaydırma) ve dönme gibi geometrik dönüşümler "izometri" olarak adlandırılır. İzometriler, bir şeklin boyutunu ve biçimini değiştirmeyen dönüşümlerdir. Bu, şeklin kenar uzunluklarının, açılarının ve dolayısıyla alanının bu dönüşümler altında değişmediği anlamına gelir.

Bu nedenle, bir üçgenin x eksenine göre yansıması alındığında alanı değişmez.

Cevap A seçeneğidir.