C(n,2) = C(n,8) ise n kaçtır?
Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için kombinasyonların temel bir özelliğini hatırlamamız gerekiyor. Kombinasyonlar, belirli bir kümeden eleman seçme yollarının sayısını ifade eder ve matematikte çok sık karşımıza çıkar.
Öncelikle, kombinasyon formülünün önemli bir özelliğini hatırlayalım. $C(n, k)$ ifadesi, $n$ elemanlı bir kümeden $k$ eleman seçme sayısını gösterir. Bu formülün bir özelliği şudur: $C(n, k) = C(n, n-k)$. Yani, $n$ elemanlı bir kümeden $k$ eleman seçmekle, $n$ elemanlı bir kümeden $k$ elemanı seçmeyip geriye kalan $n-k$ elemanı seçmek aynı anlama gelir.
Şimdi sorumuzdaki denkleme bakalım: $C(n,2) = C(n,8)$. Bu eşitlik, yukarıda bahsettiğimiz özelliğe göre iki farklı durumda geçerli olabilir.
Birinci durum: Seçilen eleman sayıları birbirine eşittir. Yani $2 = 8$. Ancak bu durum açıkça yanlıştır, çünkü $2$ sayısı $8$ sayısına eşit değildir.
İkinci durum: Seçilen eleman sayılarının toplamı, kümenin toplam eleman sayısına ($n$) eşittir. Yani $2 + 8 = n$.
Birinci durum yanlış olduğu için, ikinci durumu kullanarak $n$ değerini bulmalıyız. Denklemi çözelim:
$2 + 8 = n$
$10 = n$
Böylece $n$ değerini $10$ olarak buluruz. İsterseniz sağlamasını da yapabiliriz:
$C(10,2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$
$C(10,8) = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$
Gördüğümüz gibi, $C(10,2) = C(10,8)$ eşitliği sağlanmaktadır. Bu da bulduğumuz $n=10$ değerinin doğru olduğunu gösterir.
Cevap B seçeneğidir.
