5. Sınıf Örüntü Oluşturma Nedir? Test 1

Bir örüntünün terimleri 2, 6, 18, 54 şeklinde ilerlemektedir. Bu örüntünün kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( 2 \times 3^{n-1} \)
B) \( 3 \times 2^{n-1} \)
C) \( 2 \times 3^n \)
D) \( 3 \times 2^n \)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir örüntünün kuralını bulmak için öncelikle terimler arasındaki ilişkiyi dikkatlice incelememiz gerekir. Hadi hep birlikte bu soruyu adım adım çözelim:

• 1. Örüntünün Terimlerini İnceleyelim:

  Verilen örüntü: $2, 6, 18, 54, \dots$

  • İlk terim ($n=1$) = $2$
  • İkinci terim ($n=2$) = $6$
  • Üçüncü terim ($n=3$) = $18$
  • Dördüncü terim ($n=4$) = $54$
• 2. Terimler Arasındaki İlişkiyi Bulalım:

  Her terimin bir önceki terimle nasıl bir ilişkisi olduğunu anlamak için bölme veya çıkarma işlemlerini deneyebiliriz:

  • $6 - 2 = 4$
  • $18 - 6 = 12$
  • $54 - 18 = 36$

  Farklar sabit değil, bu yüzden bu bir aritmetik dizi değil. Şimdi bölmeyi deneyelim:

  • $6 \div 2 = 3$
  • $18 \div 6 = 3$
  • $54 \div 18 = 3$

  Harika! Gördüğümüz gibi, her terim bir önceki terimin 3 katı. Bu, örüntünün bir geometrik dizi olduğunu ve ortak çarpanın ($r$) $3$ olduğunu gösterir.

• 3. Geometrik Dizinin Genel Kuralını Hatırlayalım:

  Bir geometrik dizinin genel terim kuralı $a_n = a_1 \times r^{n-1}$ şeklindedir.

  • Burada $a_n$, dizinin $n$. terimini temsil eder.
  • $a_1$, dizinin ilk terimidir.
  • $r$, dizinin ortak çarpanıdır.
  • $n$, terim sırasını (kaçıncı terim olduğunu) gösterir.
• 4. Kuralı Örüntümüze Uygulayalım:

  Bizim örüntümüzde:

  • İlk terim ($a_1$) = $2$
  • Ortak çarpan ($r$) = $3$

  Bu değerleri genel kuralda yerine koyarsak, örüntümüzün kuralı $a_n = 2 \times 3^{n-1}$ olur.

• 5. Seçenekleri Kontrol Edelim:

  Şimdi bulduğumuz kuralın hangi seçenekte olduğunu ve diğer seçeneklerin neden yanlış olduğunu kontrol edelim:

  • A) $2 \times 3^{n-1}$
    • $n=1$: $2 \times 3^{1-1} = 2 \times 3^0 = 2 \times 1 = 2$ (Doğru)
    • $n=2$: $2 \times 3^{2-1} = 2 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6$ (Doğru)
    • $n=3$: $2 \times 3^{3-1} = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$ (Doğru)

    Bu kural, örüntünün tüm terimlerini doğru şekilde vermektedir.

  • B) $3 \times 2^{n-1}$
    • $n=1$: $3 \times 2^{1-1} = 3 \times 2^0 = 3 \times 1 = 3$ (İlk terim $2$ olmalıydı, bu yanlış.)
  • C) $2 \times 3^n$
    • $n=1$: $2 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6$ (İlk terim $2$ olmalıydı, bu yanlış.)
  • D) $3 \times 2^n$
    • $n=1$: $3 \times 2^1 = 3 \times 2 = 6$ (İlk terim $2$ olmalıydı, bu yanlış.)

Gördüğümüz gibi, sadece A seçeneğindeki kural verilen örüntünün tüm terimlerini doğru bir şekilde açıklamaktadır.

Cevap A seçeneğidir.