Ekstremum noktaları nedir (Yerel maksimum minimum) Test 1

f(x) = x⁴ - 2x² fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

A) -1
B) 0
C) 1
D) 2

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir fonksiyonun yerel minimum değerini bulmak için türev alma kurallarını ve kritik nokta analizini kullanırız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma

• Verilen fonksiyonumuz $f(x) = x^4 - 2x^2$.

  Birinci türevi bulmak için her terimin türevini alırız:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(2x^2)$

  $f'(x) = 4x^3 - 4x$

• Adım 2: Kritik Noktaları Bulma

• Yerel minimum veya maksimum değerlerin olabileceği noktalar, birinci türevin sıfır olduğu kritik noktalardır. Bu yüzden $f'(x) = 0$ denklemini çözeriz:

  $4x^3 - 4x = 0$

  Ortak çarpan olan $4x$'i parantez dışına alalım:

  $4x(x^2 - 1) = 0$

  Parantez içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliğini kullanarak):

  $4x(x - 1)(x + 1) = 0$

  Bu denklemin çözümleri bize kritik noktaları verir:

  • $4x = 0 \implies x = 0$
  • $x - 1 = 0 \implies x = 1$
  • $x + 1 = 0 \implies x = -1$

  Kritik noktalarımız $x = -1$, $x = 0$ ve $x = 1$'dir.

• Adım 3: İkinci Türev Testini Kullanarak Kritik Noktaları Sınıflandırma

• Hangi kritik noktanın yerel minimum, hangisinin yerel maksimum olduğunu anlamak için ikinci türev testini kullanabiliriz. Bunun için önce ikinci türevi bulalım:

  $f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 4x)$

  $f''(x) = 12x^2 - 4$

  Şimdi her kritik noktada ikinci türevin değerini inceleyelim:

  • $x = 0$ için:
  • $f''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4$
  • $f''(0) < 0$ olduğu için, $x = 0$ noktasında bir yerel maksimum vardır.
  • $x = 1$ için:
  • $f''(1) = 12(1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$
  • $f''(1) > 0$ olduğu için, $x = 1$ noktasında bir yerel minimum vardır.
  • $x = -1$ için:
  • $f''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$
  • $f''(-1) > 0$ olduğu için, $x = -1$ noktasında da bir yerel minimum vardır.
• Adım 4: Yerel Minimum Değerini Bulma

• Yerel minimum noktalarını $x = 1$ ve $x = -1$ olarak belirledik. Şimdi bu noktalarda fonksiyonun değerini hesaplayarak yerel minimum değerini bulalım:

  • $x = 1$ için:
  • $f(1) = (1)^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$
  • $x = -1$ için:
  • $f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1$

  Her iki yerel minimum noktasında da fonksiyonun değeri $-1$'dir.

Bu nedenle, fonksiyonun yerel minimum değeri $-1$'dir.

Cevap A seçeneğidir.