Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, üslü ifadeler içeren bir eşitsizliği nasıl çözeceğimizi adım adım inceleyeceğiz. Sorumuz $2^x > 8$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmak.
- Adım 1: Eşitsizliği Anlamak
- Öncelikle, bize verilen eşitsizlik $2^x > 8$. Bu, "2'nin hangi kuvvetleri 8'den büyüktür?" sorusunu sormakla aynı anlama gelir. Amacımız, $x$ değerlerinin hangi aralıkta olduğunu bulmaktır.
- Adım 2: Tabanları Eşitlemek
- Üslü eşitsizlikleri çözerken en etkili yöntemlerden biri, eşitsizliğin her iki tarafındaki üslü ifadelerin tabanlarını eşitlemektir. Sol tarafta taban 2. Sağ taraftaki sayı 8. Acaba 8'i 2'nin bir kuvveti olarak yazabilir miyiz?
- Evet, $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$ şeklinde yazılabilir.
- Adım 3: Eşitsizliği Yeniden Yazmak
- Şimdi eşitsizliğimizi $8$ yerine $2^3$ yazarak yeniden düzenleyelim:
- $2^x > 2^3$
- Adım 4: Üsleri Karşılaştırmak
- Tabanlar eşitlendiğinde (ve taban 1'den büyük olduğunda), üsler arasındaki eşitsizlik yönü, ana eşitsizliğin yönüyle aynı olur. Burada tabanımız 2 ve $2 > 1$ olduğu için, üsler arasındaki eşitsizlik yönü değişmeyecektir.
- Yani, eğer $2^x > 2^3$ ise, o zaman $x > 3$ olmalıdır.
- Eğer taban 0 ile 1 arasında olsaydı (örneğin $ (1/2)^x > (1/2)^3 $ gibi), o zaman üsler arasındaki eşitsizlik yönü tersine dönerdi ($x < 3$ olurdu). Ancak bizim durumumuzda taban 2 ve $2 > 1$ olduğu için yön aynı kalır.
- Adım 5: Çözüm Kümesini Belirlemek
- Bulduğumuz sonuç $x > 3$'tür. Bu, $x$ değerlerinin 3'ten büyük olması gerektiği anlamına gelir. Çözüm kümesi $(3, \infty)$ şeklinde de ifade edilebilir.
- Adım 6: Seçenekleri Kontrol Etmek
- Şimdi seçeneklerimize bakalım:
- A) $x > 3$
- B) $x < 3$
- C) $x > 2$
- D) $x < 2$
- Bizim bulduğumuz çözüm $x > 3$ olduğu için, doğru seçenek A'dır.
Cevap A seçeneğidir.
