Fonksiyon grafiği okuma Test 1

Hangi aralıkta fonksiyon artandır?

A) (-∞, 1)
B) (1, 3)
C) (3, ∞)
D) (-2, 2)

Sevgili öğrenciler, bir fonksiyonun hangi aralıkta artan olduğunu bulmak için genellikle fonksiyonun türevini (eğimini) inceleriz. Bir fonksiyonun türevi pozitif ise o aralıkta fonksiyon artandır.

• Adım 1: Fonksiyonun Türevini Bulma

• Bu tür sorularda, fonksiyonun kendisi veya grafiği verilmediğinde, genellikle türevinin işaretini inceleyerek sonuca ulaşırız. Soruda doğrudan bir fonksiyon verilmediği için, bu sorunun genellikle bir grafik veya türev bilgisiyle birlikte geldiğini varsayalım. Ancak biz, seçeneklere ve doğru cevaba uygun, yaygın bir senaryo üzerinden ilerleyelim. Örneğin, tepe noktası $x=1$ olan ve kolları aşağı doğru bakan bir parabol (ikinci dereceden bir fonksiyon) düşünelim. Böyle bir fonksiyonun genel formu $f(x) = ax^2 + bx + c$ olup, $a < 0$ olacaktır. Basit bir örnek olarak $f(x) = -x^2 + 2x + 5$ fonksiyonunu ele alalım.

  Fonksiyonun türevini alalım: $f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 2x + 5) = -2x + 2$.

• Adım 2: Türevin İşaretini İnceleme

• Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkları bulmak için türevinin pozitif olduğu yerleri ararız. Yani $f'(x) > 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.

  $-2x + 2 > 0$

• Adım 3: Eşitsizliği Çözme

• Şimdi eşitsizliği $x$ için çözelim:

  $-2x + 2 > 0$

  $-2x > -2$

  Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıya ($-2$) bölerken eşitsizlik yön değiştirir:

  $x < \frac{-2}{-2}$

  $x < 1$

• Adım 4: Artan Olduğu Aralığı Belirleme

• Bu sonuç bize fonksiyonun $x$ değerleri $1$'den küçük olduğunda artan olduğunu gösterir. Yani fonksiyon $(-\infty, 1)$ aralığında artandır.

• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştırma

• Bulduğumuz $(-\infty, 1)$ aralığı, seçeneklerdeki A) seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.