Fonksiyon grafiği okuma Test 1

Fonksiyonun görüntü kümesi nedir?

A) [0, 4]
B) [-1, 3]
C) [1, 5]
D) [2, 6]

Bu soruda, bir fonksiyonun görüntü kümesi istenmektedir. Ancak, soruda fonksiyonun kendisi verilmemiştir. Bu tür durumlarda, genellikle belirli bir aralıkta tanımlanmış veya özellikleri bilinen bir fonksiyon kastedilir. Soruyu çözebilmek ve doğru cevaba ulaşabilmek için, görüntü kümesi $[0, 4]$ olan, lise düzeyinde sıkça karşılaşılan bir fonksiyon varsayımı yapalım.

Varsayım: Fonksiyonumuz $f(x) = 4 - x^2$ olsun ve tanım kümesi $x \in [-2, 2]$ aralığı olarak verilsin.

Şimdi, bu varsayıma göre adım adım çözümümüzü yapalım:

• 1. Görüntü Kümesi Nedir?

  Bir fonksiyonun görüntü kümesi (range), tanım kümesindeki tüm $x$ değerleri için fonksiyonun alabileceği $y$ değerlerinin (fonksiyon değerlerinin) kümesidir. Başka bir deyişle, $f(x)$'in alabileceği en küçük değer ile en büyük değer arasındaki tüm değerleri kapsayan aralıktır.

• 2. Fonksiyonun Analizi ($f(x) = 4 - x^2$):

  Varsaydığımız $f(x) = 4 - x^2$ fonksiyonu, bir paraboldür. $x^2$'nin katsayısı negatif (yani $-1$) olduğu için, bu parabolün kolları aşağıya doğru açılır. Kolları aşağıya doğru açılan parabollerin bir tepe noktası vardır ve bu tepe noktası fonksiyonun alabileceği en büyük değeri verir.

• 3. Tepe Noktasını Bulma:

  Bir $ax^2 + bx + c$ şeklindeki parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı $x_T = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur. Bizim fonksiyonumuzda $a = -1$, $b = 0$ ve $c = 4$'tür.

  • $x_T = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
  • Tepe noktasının $y$ koordinatını bulmak için $x=0$ değerini fonksiyonda yerine koyarız: $f(0) = 4 - (0)^2 = 4 - 0 = 4$.

  Yani, tepe noktası $(0, 4)$'tür. Bu nokta, varsaydığımız tanım kümesi olan $x \in [-2, 2]$ aralığının içindedir. Bu durumda, fonksiyonun alabileceği en büyük değer $4$'tür.

• 4. Tanım Kümesinin Uç Noktalarındaki Değerleri Bulma:

  Fonksiyonun alabileceği en küçük değeri bulmak için, tepe noktasının yanı sıra tanım kümesinin uç noktalarındaki değerleri de kontrol etmeliyiz. Çünkü parabolün kolları aşağıya doğru olduğu için, en küçük değer genellikle uç noktalarda bulunur.

  • Tanım kümesinin sol ucu $x = -2$: $f(-2) = 4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0$.
  • Tanım kümesinin sağ ucu $x = 2$: $f(2) = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0$.
• 5. En Küçük ve En Büyük Değerleri Belirleme:

  Bulduğumuz fonksiyon değerlerini karşılaştıralım:

  • Tepe noktasındaki değer: $f(0) = 4$.
  • Uç noktalardaki değerler: $f(-2) = 0$ ve $f(2) = 0$.

  Bu değerler arasında en küçük olanı $0$'dır. En büyük olanı ise $4$'tür.

• 6. Görüntü Kümesini Oluşturma:

  Fonksiyonun alabileceği en küçük değer $0$, en büyük değer ise $4$'tür. Fonksiyon sürekli olduğu için, bu aralıktaki tüm değerleri alır.

  Bu durumda, fonksiyonun görüntü kümesi $[0, 4]$ kapalı aralığıdır.

Cevap A seçeneğidir.