Çarpanlara ayırma LGS Test 1

x² + 9x + 20 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x+4)(x+5)
B) (x+2)(x+10)
C) (x+1)(x+20)
D) (x+8)(x+2)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle $x^2 + 9x + 20$ gibi ikinci dereceden bir ifadeyi nasıl çarpanlarına ayıracağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür ifadeleri çarpanlarına ayırmak, matematikte çok sık karşımıza çıkan ve temel bir beceridir.

• Adım 1: İfadeyi Tanıyalım

  Elimizdeki ifade $x^2 + 9x + 20$ şeklindedir. Bu, genel olarak $ax^2 + bx + c$ formundaki bir ikinci dereceden üç terimli ifadedir. Bizim örneğimizde $a=1$, $b=9$ ve $c=20$'dir.

• Adım 2: Çarpanlara Ayırma Kuralını Hatırlayalım

  Eğer $a=1$ ise, yani ifademiz $x^2 + bx + c$ şeklindeyse, bu ifadeyi $(x+p)(x+q)$ şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz. Burada $p$ ve $q$ sayıları şu iki koşulu sağlamalıdır:

  • $p \times q = c$ (yani $p$ ve $q$'nun çarpımı sabit terimi vermelidir)
  • $p + q = b$ (yani $p$ ve $q$'nun toplamı $x$'in katsayısını vermelidir)

• Adım 3: Sayıları Bulalım

  Bizim ifademizde $b=9$ ve $c=20$'dir. Şimdi öyle iki sayı ($p$ ve $q$) bulmalıyız ki, çarpımları $20$ ve toplamları $9$ olsun.

  • $20$'nin çarpan çiftlerini düşünelim:
  • $1 \times 20 = 20$. Toplamları $1+20=21$. (Bu değil)
  • $2 \times 10 = 20$. Toplamları $2+10=12$. (Bu değil)
  • $4 \times 5 = 20$. Toplamları $4+5=9$. (İşte aradığımız sayılar bunlar!)

  Demek ki $p=4$ ve $q=5$ (veya tam tersi, fark etmez) sayıları aradığımız koşulları sağlıyor.

• Adım 4: İfadeyi Çarpanlarına Ayıralım

  Bulduğumuz $p=4$ ve $q=5$ sayılarını kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz:

  $x^2 + 9x + 20 = (x+4)(x+5)$

• Adım 5: Sağlamasını Yapalım (İsteğe Bağlı Ama Önemli!)

  Çarpanlara ayırma işleminizin doğru olup olmadığını kontrol etmek için bulduğunuz çarpanları tekrar çarpabilirsiniz:

  $(x+4)(x+5) = x \times x + x \times 5 + 4 \times x + 4 \times 5$

  $= x^2 + 5x + 4x + 20$

  $= x^2 + 9x + 20$

  Gördüğünüz gibi, başlangıçtaki ifademizi geri elde ettik. Bu da çarpanlara ayırma işleminin doğru olduğunu gösterir.

Bu adımları takip ettiğimizde, $x^2 + 9x + 20$ ifadesinin çarpanlarına ayrılmış halinin $(x+4)(x+5)$ olduğunu buluruz.

Cevap A seçeneğidir.