Üçgen eşitsizliği kuralı (a-b < c < a+b) Test 1

Bir üçgenin kenar uzunlukları 6 cm, 9 cm ve x cm'dir. x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 14
B) 15
C) 16
D) 17

Sevgili öğrenciler, bir üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi belirleyen çok önemli bir kural vardır: Üçgen Eşitsizliği Teoremi.

Bu teorem der ki: Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Aynı zamanda, herhangi iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değeri, üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır.

Matematiksel olarak ifade edersek, kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ olan bir üçgen için şu eşitsizlikler geçerlidir: $|a - b| < c < a + b$.

Şimdi sorumuzdaki üçgenin kenar uzunluklarına bakalım: 6 cm, 9 cm ve $x$ cm.

• İlk olarak, Üçgen Eşitsizliği Teoremi'nin ilk kısmını uygulayalım: Herhangi iki kenarın toplamı, üçüncü kenardan büyük olmalıdır.
• 1. Eşitsizlik: 6 cm ve 9 cm kenarlarının toplamı $x$ cm'den büyük olmalı.

  $6 + 9 > x \Rightarrow 15 > x$. Bu, $x$ sayısının 15'ten küçük olması gerektiği anlamına gelir.

• 2. Eşitsizlik: 6 cm ve $x$ cm kenarlarının toplamı 9 cm'den büyük olmalı.

  $6 + x > 9 \Rightarrow x > 9 - 6 \Rightarrow x > 3$. Bu, $x$ sayısının 3'ten büyük olması gerektiği anlamına gelir.

• 3. Eşitsizlik: 9 cm ve $x$ cm kenarlarının toplamı 6 cm'den büyük olmalı.

  $9 + x > 6 \Rightarrow x > 6 - 9 \Rightarrow x > -3$. Bir kenar uzunluğu negatif olamayacağı için bu eşitsizlik zaten $x > 3$ eşitsizliği tarafından kapsanmaktadır. Yani $x$ zaten pozitif bir sayı olmak zorundadır.

• Şimdi elde ettiğimiz tüm geçerli eşitsizlikleri birleştirelim:

  $x < 15$ ve $x > 3$.

  Bu iki durumu bir araya getirdiğimizde, $x$ için geçerli aralık $3 < x < 15$ olur.

• Soru bizden $x$'in alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmamızı istiyor.
• $x$ sayısı 15'ten küçük olmalı ($x < 15$) ve aynı zamanda bir tam sayı olmalı. Bu durumda, 15'ten küçük en büyük tam sayı 14'tür.
• Ayrıca $x$'in 3'ten büyük olması ($x > 3$) koşulunu da sağlıyor (çünkü 14, 3'ten büyüktür).

Bu nedenle, $x$'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 14'tür.

Cevap A seçeneğidir.