Bir sınıftaki öğrenciler 3'erli gruplandığında 2 öğrenci artıyor, 5'erli gruplandığında 4 öğrenci artıyor. Sınıf mevcudu 50'den az olduğuna göre, sınıfta en fazla kaç öğrenci vardır?
A) 44
B) 47
C) 49
D) 46
E) 48
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, bir sınıftaki öğrenci sayısını bulmaya çalışıyoruz. Bize verilen ipuçlarını kullanarak adım adım ilerleyelim ve doğru cevaba ulaşalım.
- Adım 1: Problemi Anlayalım ve Matematiksel İfadelere Dönüştürelim.
- Birinci bilgi: "3'erli gruplandığında 2 öğrenci artıyor." Bu ne demek? Sınıf mevcudu 3'e bölündüğünde kalan 2'dir. Eğer sınıf mevcuduna $S$ dersek, bunu matematiksel olarak $S = 3k + 2$ şeklinde yazabiliriz (burada $k$ bir tam sayıdır).
- İkinci bilgi: "5'erli gruplandığında 4 öğrenci artıyor." Bu ne demek? Sınıf mevcudu 5'e bölündüğünde kalan 4'tür. Bunu da $S = 5m + 4$ şeklinde yazabiliriz (burada $m$ bir tam sayıdır).
- Üçüncü bilgi: "Sınıf mevcudu 50'den az." Yani $S < 50$.
- Bizden istenen: Sınıfta en fazla kaç öğrenci vardır?
- Adım 2: İkinci Koşulu Sağlayan Sayıları Bulalım ($S = 5m + 4$).
- Şimdi, 5'e bölündüğünde 4 kalanını veren ve 50'den küçük olan sayıları listeleyelim. $m$ yerine sırasıyla 0, 1, 2... gibi değerler vererek $S$ değerlerini bulalım:
- $m=0 \Rightarrow S = 5(0) + 4 = 4$
- $m=1 \Rightarrow S = 5(1) + 4 = 9$
- $m=2 \Rightarrow S = 5(2) + 4 = 14$
- $m=3 \Rightarrow S = 5(3) + 4 = 19$
- $m=4 \Rightarrow S = 5(4) + 4 = 24$
- $m=5 \Rightarrow S = 5(5) + 4 = 29$
- $m=6 \Rightarrow S = 5(6) + 4 = 34$
- $m=7 \Rightarrow S = 5(7) + 4 = 39$
- $m=8 \Rightarrow S = 5(8) + 4 = 44$
- $m=9 \Rightarrow S = 5(9) + 4 = 49$
- $m=10 \Rightarrow S = 5(10) + 4 = 54$ (Bu sayı 50'den büyük olduğu için burada duruyoruz.)
- Şimdi elimizde potansiyel öğrenci sayıları var: $\{4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49\}$.
- Adım 3: Bu Sayılar Arasından Birinci Koşulu ($S = 3k + 2$) Sağlayanları Bulalım.
- Şimdi, yukarıdaki listedeki sayılardan hangilerinin 3'e bölündüğünde 2 kalanını verdiğini kontrol edelim:
- $4 \div 3 = 1$ kalan 1 (Uymuyor)
- $9 \div 3 = 3$ kalan 0 (Uymuyor)
- $14 \div 3 = 4$ kalan 2 (Uyuyor!)
- $19 \div 3 = 6$ kalan 1 (Uymuyor)
- $24 \div 3 = 8$ kalan 0 (Uymuyor)
- $29 \div 3 = 9$ kalan 2 (Uyuyor!)
- $34 \div 3 = 11$ kalan 1 (Uymuyor)
- $39 \div 3 = 13$ kalan 0 (Uymuyor)
- $44 \div 3 = 14$ kalan 2 (Uyuyor!)
- $49 \div 3 = 16$ kalan 1 (Uymuyor)
- Adım 4: Her İki Koşulu Sağlayan ve 50'den Küçük En Büyük Sayıyı Belirleyelim.
- Her iki koşulu da sağlayan sayılar: $\{14, 29, 44\}$.
- Bu sayılar arasında en büyüğü 44'tür.
- 44 sayısı aynı zamanda 50'den küçüktür.
- Demek ki, sınıfta en fazla 44 öğrenci olabilir.
Cevap A seçeneğidir.
