Aşağıdakilerden hangisi limit hızın formülüdür?
A) $v_t = \sqrt{\frac{mg}{k}}$
B) $v_t = \frac{mg}{k}$
C) $v_t = \sqrt{\frac{k}{mg}}$
D) $v_t = \frac{k}{mg}$
Limit hız (terminal hız), bir cismin bir akışkan (örneğin hava veya su) içinde düşerken ulaştığı sabit hızdır. Bu hıza ulaşıldığında, cisim üzerindeki net kuvvet sıfır olur. Bu durumu adım adım inceleyelim:
- Cisim Üzerindeki Kuvvetler: Bir cisim bir akışkan içinde düşerken iki temel kuvvetin etkisindedir:
- Yerçekimi Kuvveti (Ağırlık): Cismi aşağı doğru çeken kuvvettir. Formülü $F_g = mg$'dir, burada $m$ cismin kütlesi ve $g$ yerçekimi ivmesidir.
- Sürtünme Kuvveti (Hava Direnci/Akışkan Direnci): Cismin hareketine zıt yönde etki eden kuvvettir. Genellikle yüksek hızlarda bu kuvvet hızın karesiyle orantılıdır. Formülü $F_d = kv^2$'dir, burada $k$ bir direnç katsayısı (cismin şekline, boyutuna ve akışkanın yoğunluğuna bağlıdır) ve $v$ cismin hızıdır.
- Limit Hız Durumu: Cisim limit hıza ($v_t$) ulaştığında, aşağı yönlü yerçekimi kuvveti ile yukarı yönlü sürtünme kuvveti birbirini dengeler. Yani net kuvvet sıfır olur.
- Denklemin Kurulması: Limit hızda kuvvetler dengede olduğundan $F_g = F_d$ eşitliğini yazarız. Bu da $mg = kv_t^2$ anlamına gelir.
- Limit Hız Formülünün Türetilmesi: $mg = kv_t^2$ denkleminden $v_t$'yi çekmek için adımları takip ederiz:
- Önce $v_t^2$ ifadesini yalnız bırakırız: $v_t^2 = \frac{mg}{k}$
- Ardından her iki tarafın karekökünü alarak $v_t$'yi buluruz: $v_t = \sqrt{\frac{mg}{k}}$
- Seçeneklerin Değerlendirilmesi: Türettiğimiz formülü seçeneklerle karşılaştırdığımızda:
- A) $v_t = \sqrt{\frac{mg}{k}}$ - Bu ifade, bizim türettiğimiz formülle tamamen aynıdır.
- B) $v_t = \frac{mg}{k}$ - Bu ifadede karekök eksiktir.
- C) $v_t = \sqrt{\frac{k}{mg}}$ - Bu ifadede $mg$ ve $k$ terimleri ters çevrilmiştir.
- D) $v_t = \frac{k}{mg}$ - Bu ifadede hem karekök eksik hem de terimler ters çevrilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.
