1. Verilen Bilgiyi Anlayalım:
- Bize $\tan(a)$ değerinin $\frac{1}{3}$ olduğu verilmiş. Yani, $\tan(a) = \frac{1}{3}$.
2. Neyi Bulmamız Gerektiğini Belirleyelim:
- Bizden $\tan(2a)$ değerini bulmamız isteniyor.
3. Doğru Formülü Hatırlayalım:
- $\tan(2a)$ ifadesini bulmak için trigonometrideki çift açı formüllerinden birini kullanmamız gerekiyor. $\tan(2a)$ için çift açı formülü şöyledir:
- $\tan(2a) = \frac{2\tan(a)}{1 - \tan^2(a)}$
4. Formülde Verilen Değeri Yerine Koyalım:
- Şimdi, bize verilen $\tan(a) = \frac{1}{3}$ değerini formülde yerine yazalım:
- $\tan(2a) = \frac{2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}$
5. İşlemleri Dikkatlice Yapalım:
- Önce pay kısmını hesaplayalım: $2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
- Şimdi payda kısmını hesaplayalım:
- $\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$
- Payda kısmının tamamı: $1 - \frac{1}{9}$
- $1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{9-1}{9} = \frac{8}{9}$
6. Sonucu Bulalım:
- Şimdi bulduğumuz pay ve payda değerlerini ana kesirde yerine yazalım:
- $\tan(2a) = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}$
- Bir kesri başka bir kesre bölerken, birinci kesri ikinci kesrin tersiyle çarparız:
- $\tan(2a) = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8}$
- Çarpma işlemini yapalım ve sadeleştirelim:
- $\tan(2a) = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 8} = \frac{18}{24}$
- Kesri sadeleştirelim. Hem $18$ hem de $24$, $6$'ya bölünebilir:
- $\frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$
Böylece $\tan(2a)$ değerini $\frac{3}{4}$ olarak bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
