p: "Üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir" ve q: "Karenin köşegenleri birbirine diktir" önermeleri veriliyor. Buna göre p ∧ q bileşik önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) p doğru, q yanlış olduğunda bileşik önerme doğrudur
B) p yanlış, q doğru olduğunda bileşik önerme doğrudur
C) Hem p hem q doğru olduğunda bileşik önerme doğrudur
D) p veya q'dan en az biri doğru olduğunda bileşik önerme doğrudur
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki ayrı önermenin birleşiminden oluşan bileşik bir önermenin doğruluk değerini inceliyoruz. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Önermeleri Anlayalım ve Doğruluk Değerlerini Belirleyelim:
- $p$: "Üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir"
- Bu önerme, geometri biliminde evrensel olarak kabul görmüş bir gerçektir. Dolayısıyla, $p$ önermesinin doğruluk değeri doğrudur (veya $p \equiv 1$).
- $q$: "Karenin köşegenleri birbirine diktir"
- Bu önerme de, karelerin özelliklerinden biridir ve geometri biliminde evrensel olarak kabul görmüş bir gerçektir. Dolayısıyla, $q$ önermesinin doğruluk değeri doğrudur (veya $q \equiv 1$).
- 2. Bileşik Önerme Türünü Tanıyalım:
- Bize sorulan bileşik önerme $p \land q$'dur. Buradaki "$\land$" sembolü "ve" bağlacını temsil eder ve tümdenetim (konjonksiyon) olarak adlandırılır.
- 3. "Ve" Bağlacının (Konjonksiyonun) Doğruluk Kuralını Hatırlayalım:
- "$p \land q$" bileşik önermesi, ancak ve ancak hem $p$ önermesi hem de $q$ önermesi doğru olduğunda doğru olur. Diğer tüm durumlarda ($p$ doğru, $q$ yanlış; $p$ yanlış, $q$ doğru; $p$ yanlış, $q$ yanlış) bu bileşik önerme yanlış olur.
- Bunu bir doğruluk tablosuyla gösterebiliriz:
- $p \quad q \quad p \land q$
- $1 \quad 1 \quad 1$ (Doğru)
- $1 \quad 0 \quad 0$ (Yanlış)
- $0 \quad 1 \quad 0$ (Yanlış)
- $0 \quad 0 \quad 0$ (Yanlış)
- 4. Bileşik Önermenin Doğruluk Değerini Belirleyelim:
- Yukarıdaki adımlarda $p$ önermesinin doğru ($p \equiv 1$) ve $q$ önermesinin de doğru ($q \equiv 1$) olduğunu belirledik.
- "Ve" bağlacının kuralına göre, $p$ doğru ve $q$ doğru olduğunda, $p \land q$ bileşik önermesi de doğru olur.
- 5. Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) $p$ doğru, $q$ yanlış olduğunda bileşik önerme doğrudur. (Yanlış, çünkü $1 \land 0 \equiv 0$)
- B) $p$ yanlış, $q$ doğru olduğunda bileşik önerme doğrudur. (Yanlış, çünkü $0 \land 1 \equiv 0$)
- C) Hem $p$ hem $q$ doğru olduğunda bileşik önerme doğrudur. (Doğru, çünkü $1 \land 1 \equiv 1$)
- D) $p$ veya $q$'dan en az biri doğru olduğunda bileşik önerme doğrudur. (Bu ifade "veya" ($p \lor q$) bağlacının kuralını açıklar, "ve" ($p \land q$) bağlacının değil.)
Bu analiz sonucunda, $p \land q$ bileşik önermesinin doğru olması için hem $p$'nin hem de $q$'nun doğru olması gerektiği açıkça görülmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
