9. sınıf Türk dili ve edebiyatı 1. dönem 2. yazılı 4. senaryo Test 1

$f(x) = |2x+4| - |x-1|$ fonksiyonunun $x \in [-3, 0]$ aralığındaki en büyük değeri kaçtır?

A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $4$
E) $5$

Bu soruyu çözmek için mutlak değer fonksiyonunun kritik noktalarını ve aralıktaki davranışını incelememiz gerekiyor. Mutlak değer içindeki ifadeleri sıfır yapan değerler kritik noktalardır.

• Adım 1: Kritik Noktaları Bulma
• $|2x+4|$ için: $2x+4 = 0 \Rightarrow x = -2$
• $|x-1|$ için: $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Ancak, biz sadece $x \in [-3, 0]$ aralığıyla ilgileniyoruz. Bu aralıkta sadece $x=-2$ kritik noktası var. $x=1$ bu aralığın dışında.

• Adım 2: Aralığı Alt Aralıklarına Ayırma

Kritik nokta olan $x=-2$ aralığı iki alt aralığa böler: $[-3, -2]$ ve $[-2, 0]$. Bu aralıklarda $f(x)$'in nasıl değiştiğini inceleyeceğiz.

• Adım 3: Her Alt Aralıkta $f(x)$'i İnceleme
• $x \in [-3, -2]$ için:

Bu aralıkta $2x+4 \leq 0$ ve $x-1 < 0$'dır. Bu nedenle:

$f(x) = -(2x+4) - (-(x-1)) = -2x - 4 + x - 1 = -x - 5$

Bu aralıkta $f(x)$ azalandır. Yani, en büyük değer $x=-3$ için elde edilir:

$f(-3) = -(-3) - 5 = 3 - 5 = -2$

Ayrıca $x=-2$ için $f(-2) = -(-2) - 5 = 2 - 5 = -3$

• $x \in [-2, 0]$ için:

Bu aralıkta $2x+4 \geq 0$ ve $x-1 < 0$'dır. Bu nedenle:

$f(x) = (2x+4) - (-(x-1)) = 2x + 4 + x - 1 = 3x + 3$

Bu aralıkta $f(x)$ artandır. Yani, en büyük değer $x=0$ için elde edilir:

$f(0) = 3(0) + 3 = 3$

Ayrıca $x=-2$ için $f(-2) = 3(-2) + 3 = -6 + 3 = -3$

• Adım 4: En Büyük Değeri Bulma

Bulduğumuz değerler: $f(-3) = -2$, $f(-2) = -3$, $f(0) = 3$.

Bu değerler arasında en büyüğü $3$'tür.

Cevap C seçeneğidir.