9. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 2. senaryo Test 1

$f(x)=|x-1|+|x+3|$ fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Bu soruyu çözmek için mutlak değerin ne anlama geldiğini ve nasıl davrandığını anlamamız gerekiyor. Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerindeki sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Yani, $|x|$, $x$ pozitifse $x$'e, $x$ negatifse $-x$'e eşittir.

• Adım 1: Kritik Noktaları Bulma

Mutlak değer içindeki ifadeleri sıfır yapan değerleri bulalım. Bunlar, mutlak değer fonksiyonunun davranışının değiştiği kritik noktalardır.

• $x-1 = 0$ => $x = 1$
• $x+3 = 0$ => $x = -3$

Bu kritik noktalar, sayı doğrusunu üç bölgeye ayırır: $x < -3$, $-3 \le x \le 1$ ve $x > 1$.

• Adım 2: Bölgelere Göre Fonksiyonu İnceleme

Şimdi her bir bölgede $f(x)$ fonksiyonunun nasıl değiştiğine bakalım:

• Bölge 1: $x < -3$

Bu durumda, hem $x-1$ hem de $x+3$ negatiftir. Dolayısıyla mutlak değerler negatif işaretlerini alarak açılır:

$f(x) = -(x-1) - (x+3) = -x + 1 - x - 3 = -2x - 2$

Bu bölgede $x$ azaldıkça $f(x)$ artar. Yani, en küçük değer bu bölgenin sınırında, $x = -3$'te olabilir.

• Bölge 2: $-3 \le x \le 1$

Bu durumda, $x-1$ negatif ve $x+3$ pozitiftir. Dolayısıyla mutlak değerler şu şekilde açılır:

$f(x) = -(x-1) + (x+3) = -x + 1 + x + 3 = 4$

Bu bölgede $f(x)$ sabittir ve 4'e eşittir.

• Bölge 3: $x > 1$

Bu durumda, hem $x-1$ hem de $x+3$ pozitiftir. Dolayısıyla mutlak değerler aynen açılır:

$f(x) = (x-1) + (x+3) = x - 1 + x + 3 = 2x + 2$

Bu bölgede $x$ arttıkça $f(x)$ artar. Yani, en küçük değer bu bölgenin sınırında, $x = 1$'de olabilir.

• Adım 3: Kritik Noktalardaki Değerleri Hesaplama ve Karşılaştırma

Şimdi kritik noktalarda ve bölgelerde bulduğumuz değerleri karşılaştıralım:

• $x = -3$ için: $f(-3) = |-3-1| + |-3+3| = |-4| + |0| = 4 + 0 = 4$
• $-3 \le x \le 1$ için: $f(x) = 4$ (sabit)
• $x = 1$ için: $f(1) = |1-1| + |1+3| = |0| + |4| = 0 + 4 = 4$

Gördüğümüz gibi, fonksiyonun en küçük değeri 4'tür.

Cevap E seçeneğidir.