🎓 8. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 4. senaryo Test 2 - Ders Notu
Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri! Bu ders notu, 1. dönem 2. yazılı sınavınızdaki "4. senaryo Test 2" kapsamında karşılaşabileceğiniz üslü ifadeler, kareköklü ifadeler ve gerçek sayılar konularını kapsayan temel bilgileri özetlemektedir. Sınavda başarılı olmak için bu konuları iyi anlamanız çok önemlidir.
📌 Üslü İfadeler
Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının kısa yoldan gösterilmesine üslü ifade denir. Üslü ifadelerde taban ve üs olmak üzere iki kısım bulunur.
- Tanım: $a^n$ ifadesinde $a$ taban, $n$ ise üs (kuvvet) olarak adlandırılır. $a^n = a \times a \times ... \times a$ ($n$ tane $a$'nın çarpımı).
- Negatif Üs: Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpma işlemine göre tersini ifade eder. $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ ve $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
- Sıfırıncı Kuvvet: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti $1$'e eşittir. $a^0 = 1$ ($a \neq 0$).
- Üslü İfadelerde Çarpma: Tabanlar aynıysa üsler toplanır ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$). Üsler aynıysa tabanlar çarpılır ($a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$).
- Üslü İfadelerde Bölme: Tabanlar aynıysa üsler çıkarılır ($\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$). Üsler aynıysa tabanlar bölünür ($\frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x$).
- Üssün Üssü: Bir üslü ifadenin tekrar üssü alındığında üsler çarpılır ($(a^x)^y = a^{x \cdot y}$).
- Bilimsel Gösterim: Çok büyük veya çok küçük sayıları daha anlaşılır yazmak için kullanılır. $1 \le |a| < 10$ olmak üzere bir sayının $a \times 10^n$ şeklinde yazılmasıdır.
💡 İpucu: Üslü ifadelerde toplama veya çıkarma yapabilmek için hem tabanların hem de üslerin aynı olması gerekir. Eğer aynı değillerse, değerlerini bulup öyle işlem yapın.
📌 Kareköklü İfadeler
Karesi verilen bir sayıya eşit olan pozitif sayıyı bulma işlemine karekök alma denir ve "$\sqrt{}$" sembolü ile gösterilir.
- Tam Kare Sayılar: Bir sayının karesi olan sayılara tam kare sayılar denir (Örn: $1, 4, 9, 16, 25, ...$). Bu sayıların karekökleri birer doğal sayıdır.
- Karekök Dışına Çıkarma: Tam kare olmayan sayıları karekök dışına çıkarmak için, kök içindeki sayı çarpanlarına ayrılır. Tam kare olan çarpanlar kök dışına çıkar ($a\sqrt{b}$ şeklinde yazma). Örn: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$.
- Kök İçine Alma: Kök dışındaki bir sayıyı kök içine almak için karesi alınarak kök içine yazılır ($a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$).
- Kareköklü İfadelerde Çarpma: Kök içindeki sayılar kendi arasında, kök dışındaki sayılar kendi arasında çarpılır ($a\sqrt{x} \cdot b\sqrt{y} = (a \cdot b)\sqrt{x \cdot y}$).
- Kareköklü İfadelerde Bölme: Kök içindeki sayılar kendi arasında, kök dışındaki sayılar kendi arasında bölünür ($\frac{a\sqrt{x}}{b\sqrt{y}} = \frac{a}{b}\sqrt{\frac{x}{y}}$).
- Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma: Yalnızca kök içleri ve kök dereceleri aynı olan ifadeler toplanabilir veya çıkarılabilir. Kök dışındaki katsayılar toplanır/çıkarılır, kök içi aynen yazılır ($a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x}$).
- Ondalık Gösterimlerin Karekökü: Ondalık gösterimler önce rasyonel sayıya çevrilir, sonra karekök alınır. Örn: $\sqrt{0.04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0.2$.
⚠️ Dikkat: Negatif bir sayının karekökü alınamaz. $\sqrt{-4}$ bir gerçek sayı değildir. Ayrıca, $\sqrt{a^2} = |a|$ olduğunu unutmayın, yani sonuç her zaman pozitif olmalıdır.
📝 Gerçek Sayılar (Reel Sayılar)
Sayı kümelerini tanıyalım ve aralarındaki ilişkiyi anlayalım.
- Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$): Sayma sayıları ve sıfırdan oluşur. $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$.
- Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): Doğal sayılar ve negatif tam sayılardan oluşur. $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
- Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Ondalık açılımı ya sonludur ya da devirlidir. Örn: $\frac{1}{2}$, $-3$, $0.75$, $0.\overline{3}$.
- İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{I}$): Rasyonel olmayan sayılardır. Yani $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalık açılımı sonsuz ve devirsizdir. Örn: $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{7}$ (tam kare olmayan sayıların karekökleri).
- Gerçek (Reel) Sayılar ($\mathbb{R}$): Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. Sayı doğrusundaki tüm noktaları temsil eder. $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$.
💡 İpucu: Her doğal sayı bir tam sayıdır, her tam sayı bir rasyonel sayıdır. Ancak her rasyonel sayı bir tam sayı değildir. İrrasyonel sayılar, rasyonel sayılarla hiçbir ortak elemanı olmayan ayrı bir kümedir. Gerçek sayılar ise bu iki kümenin birleşimidir.
