Merhaba sevgili öğrenciler, bu tür köklü ifadeleri karşılaştırırken en kolay yol, sayıların tamamını kök içine almak veya her bir sayının karesini almaktır. Kare alma işlemi genellikle daha pratiktir çünkü kök dışındaki çarpanları da hesaba katmamızı sağlar. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:
- Öncelikle verilen $A$, $B$ ve $C$ noktalarını temsil eden sayıları yazalım:
- $A = 2\sqrt{10}$
- $B = 3\sqrt{5}$
- $C = 4\sqrt{3}$
- Bu sayıları karşılaştırmak için her bir sayının karesini alalım. Pozitif sayıların sıralaması, karelerinin sıralamasıyla aynıdır. Yani, eğer $x < y$ ise $x^2 < y^2$ olur.
- $A$ sayısının karesini hesaplayalım:
- $A^2 = (2\sqrt{10})^2$
- Üslü sayılarda çarpımın kuvveti kuralını hatırlayalım: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Bu durumda $(2\sqrt{10})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{10})^2$ olur.
- $2^2 = 4$ ve $(\sqrt{10})^2 = 10$ (bir sayının karekökünün karesi, o sayının kendisine eşittir).
- Yani, $A^2 = 4 \cdot 10 = 40$.
- $B$ sayısının karesini hesaplayalım:
- $B^2 = (3\sqrt{5})^2$
- Aynı kuralı uygulayarak: $B^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2$
- $3^2 = 9$ ve $(\sqrt{5})^2 = 5$.
- Yani, $B^2 = 9 \cdot 5 = 45$.
- $C$ sayısının karesini hesaplayalım:
- $C^2 = (4\sqrt{3})^2$
- Aynı kuralı uygulayarak: $C^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2$
- $4^2 = 16$ ve $(\sqrt{3})^2 = 3$.
- Yani, $C^2 = 16 \cdot 3 = 48$.
- Şimdi elde ettiğimiz kare değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayalım:
- $A^2 = 40$
- $B^2 = 45$
- $C^2 = 48$
- Görüldüğü gibi, $40 < 45 < 48$ sıralaması vardır.
- Bu durumda, orijinal sayılarımız da aynı sıralamaya sahip olacaktır: $A < B < C$.
Bu sıralama seçeneklerde A şıkkında verilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.
