Yerden $h$ yüksekliğindeki bir noktadan yatay $v_0$ hızıyla atılan bir cisim, atıldığı noktadan yatayda $x$ kadar yol alarak yere düşüyor. Cismin yere düşme süresi $t$ ve yere çarpma hızı $v$ ise, $v_0$ hızı iki katına çıkarılırsa ($2v_0$) ve aynı yükseklikten atılırsa, cismin yatayda alacağı yol ve yere çarpma hızı nasıl değişir? (Hava direnci önemsizdir.)
A) Yatay yol $2x$, yere çarpma hızı $2v$ olur.
B) Yatay yol $2x$, yere çarpma hızı $v$'den büyük ama $2v$'den küçük olur.
C) Yatay yol $4x$, yere çarpma hızı $2v$ olur.
D) Yatay yol $2x$, yere çarpma hızı $v$'den küçük olur.
E) Yatay yol $x$, yere çarpma hızı $v$'den büyük olur.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, yatay atış hareketini ve başlangıç hızının değişmesinin hareketin diğer özelliklerini nasıl etkilediğini inceleyeceğiz. Hava direncinin önemsiz olduğu durumlarda, yatay ve dikey hareketler birbirinden bağımsız olarak ele alınır. Haydi adım adım inceleyelim:
- 1. Başlangıç Durumunu Analiz Edelim:
- Dikey Hareket: Cisim, yerden $h$ yüksekliğinden yatay olarak atıldığı için ilk dikey hızı $v_{0y} = 0$ 'dır. Sadece yer çekimi ivmesi ($g$) etkisiyle aşağı doğru hızlanır. Cismin yere düşme süresi $t$, sadece yüksekliğe bağlıdır ve $h = \frac{1}{2}gt^2$ formülüyle bulunur. Yere çarpmadan hemen önceki dikey hızı ise $v_y = gt$ olur. Bu değerler, yatay atış hızı ne olursa olsun değişmez, çünkü yatay hız dikey hareketi etkilemez.
- Yatay Hareket: Hava direnci olmadığı için cismin yatay hızı sabittir ve ilk yatay hızı $v_0$ 'a eşittir. Cismin yatayda aldığı yol $x$, yatay hız ile yere düşme süresinin çarpımıdır: $x = v_0 t$.
- Yere Çarpma Hızı: Yere çarpma anındaki hız $v$, yatay hız bileşeni $v_0$ ile dikey hız bileşeni $v_y = gt$ 'nin vektörel toplamının büyüklüğüdür. Pisagor teoremini kullanarak buluruz: $v = \sqrt{v_0^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$.
- 2. Başlangıç Hızı İki Katına Çıkarılırsa ($2v_0$) Ne Olur?
- Dikey Hareket (Yere Düşme Süresi ve Dikey Hız): Cismin atıldığı yükseklik $h$ değişmediği için, yer çekimi ivmesi altında yere düşme süresi $t$ değişmez. Dolayısıyla, yere çarpmadan hemen önceki dikey hız bileşeni $v_y = gt$ de değişmez.
- Yatay Hareket (Yatayda Alınan Yol): Yeni yatay hızımız $v_x' = 2v_0$ olur. Yere düşme süresi $t$ değişmediği için, yeni yatayda alınan yol $x'$ şu şekilde hesaplanır: $x' = v_x' t = (2v_0) t = 2(v_0 t)$. Başlangıçta $x = v_0 t$ olduğu için, yeni yatay yol $x' = 2x$ olur. Yani, yatayda alınan yol iki katına çıkar.
- Yere Çarpma Hızı: Yeni yere çarpma hızı $v'$ ise, yeni yatay hız bileşeni $2v_0$ ve değişmeyen dikey hız bileşeni $v_y = gt$ kullanılarak bulunur: $v' = \sqrt{(2v_0)^2 + v_y^2} = \sqrt{4v_0^2 + (gt)^2}$.
- 3. Değişimleri Karşılaştıralım:
- Yatayda Alınan Yol: Gördüğümüz gibi, yatayda alınan yol $x' = 2x$ olur.
- Yere Çarpma Hızı:
- Başlangıçtaki hız: $v = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$
- Yeni hız: $v' = \sqrt{4v_0^2 + (gt)^2}$
Açıkça görülüyor ki, $4v_0^2 > v_0^2$ olduğu için $v' > v$ 'dir. Yani yere çarpma hızı artar.
Peki $v'$ ne kadar artar? $2v$ ile karşılaştıralım:
- $2v = 2\sqrt{v_0^2 + (gt)^2} = \sqrt{4(v_0^2 + (gt)^2)} = \sqrt{4v_0^2 + 4(gt)^2}$
Şimdi $v' = \sqrt{4v_0^2 + (gt)^2}$ ile $2v = \sqrt{4v_0^2 + 4(gt)^2}$ değerlerini karşılaştıralım. Dikey hız bileşeni $gt$ sıfırdan farklı olduğu için $(gt)^2 > 0$ 'dır. Bu durumda $4(gt)^2 > (gt)^2$ olur. Dolayısıyla, $\sqrt{4v_0^2 + (gt)^2} < \sqrt{4v_0^2 + 4(gt)^2}$ 'dir. Yani $v' < 2v$ olur.
Sonuç olarak, yeni yere çarpma hızı $v'$ başlangıçtaki hız $v$'den büyük, ancak $2v$'den küçüktür ($v < v' < 2v$).
Bu analizler sonucunda, cismin yatayda alacağı yol $2x$ olurken, yere çarpma hızı $v$'den büyük ama $2v$'den küçük olur.
Cevap B seçeneğidir.
