Bir cisim üzerine etki eden $\vec{F_1}$ ve $\vec{F_2}$ kuvvetleri şekildeki gibidir. $\vec{F_1}$ kuvveti +x yönünde 10 N, $\vec{F_2}$ kuvveti ise +x ekseniyle $120^\circ$ açı yapacak şekilde 10 N büyüklüğündedir. Buna göre bu iki kuvvetin bileşkesinin büyüklüğü kaç N'dir?
A) 5
B) $5\sqrt{3}$
C) 10
D) $10\sqrt{3}$
E) 20
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir cisme etki eden iki kuvvetin bileşkesinin büyüklüğünü bulmamız isteniyor. Kuvvetler vektörel büyüklükler olduğu için, onları toplarken yönlerini de dikkate almamız gerekir. Bu tür problemleri çözmek için en yaygın ve anlaşılır yöntemlerden biri, kuvvetleri bileşenlerine ayırma yöntemidir.
- Kuvvetleri Bileşenlerine Ayırma:
- Öncelikle, her bir kuvveti x ve y eksenlerindeki bileşenlerine ayıralım.
- $\vec{F_1}$ Kuvvetinin Bileşenleri:
- $\vec{F_1}$ kuvveti +x yönünde ve büyüklüğü $10$ N'dir. Yani, +x ekseniyle $0^\circ$ açı yapmaktadır.
- x-bileşeni: $F_{1x} = |\vec{F_1}| \cos(0^\circ) = 10 \text{ N} \times 1 = 10 \text{ N}$
- y-bileşeni: $F_{1y} = |\vec{F_1}| \sin(0^\circ) = 10 \text{ N} \times 0 = 0 \text{ N}$
- $\vec{F_2}$ Kuvvetinin Bileşenleri:
- $\vec{F_2}$ kuvveti +x ekseniyle $120^\circ$ açı yapmakta ve büyüklüğü $10$ N'dir.
- x-bileşeni: $F_{2x} = |\vec{F_2}| \cos(120^\circ)$
- $\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -0.5$ olduğunu hatırlayalım.
- $F_{2x} = 10 \text{ N} \times (-0.5) = -5 \text{ N}$
- y-bileşeni: $F_{2y} = |\vec{F_2}| \sin(120^\circ)$
- $\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ olduğunu hatırlayalım.
- $F_{2y} = 10 \text{ N} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ N}$
- Bileşke Kuvvetin Bileşenlerini Bulma:
- Şimdi, bileşke kuvvet $\vec{R}$'nin x ve y bileşenlerini bulmak için, ayrı ayrı x ve y bileşenlerini toplayalım.
- Bileşke kuvvetin x-bileşeni: $R_x = F_{1x} + F_{2x} = 10 \text{ N} + (-5 \text{ N}) = 5 \text{ N}$
- Bileşke kuvvetin y-bileşeni: $R_y = F_{1y} + F_{2y} = 0 \text{ N} + 5\sqrt{3} \text{ N} = 5\sqrt{3} \text{ N}$
- Bileşke Kuvvetin Büyüklüğünü Hesaplama:
- Bileşke kuvvetin büyüklüğü, Pisagor teoremi kullanılarak bulunur: $|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$
- $|\vec{R}| = \sqrt{(5 \text{ N})^2 + (5\sqrt{3} \text{ N})^2}$
- $|\vec{R}| = \sqrt{25 \text{ N}^2 + (25 \times 3) \text{ N}^2}$
- $|\vec{R}| = \sqrt{25 \text{ N}^2 + 75 \text{ N}^2}$
- $|\vec{R}| = \sqrt{100 \text{ N}^2}$
- $|\vec{R}| = 10 \text{ N}$
- Alternatif Çözüm (Kosinüs Teoremi):
- İki kuvvetin bileşkesinin büyüklüğü, aralarındaki açı $\theta$ biliniyorsa kosinüs teoremi ile de bulunabilir: $|\vec{R}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos\theta}$.
- Burada $\vec{F_1}$ +x ekseninde ($0^\circ$), $\vec{F_2}$ ise +x ekseniyle $120^\circ$ açı yapıyor. Dolayısıyla, iki kuvvet arasındaki açı $\theta = 120^\circ - 0^\circ = 120^\circ$'dir.
- $|\vec{R}| = \sqrt{10^2 + 10^2 + 2 \times 10 \times 10 \times \cos(120^\circ)}$
- $|\vec{R}| = \sqrt{100 + 100 + 200 \times (-0.5)}$
- $|\vec{R}| = \sqrt{200 - 100}$
- $|\vec{R}| = \sqrt{100}$
- $|\vec{R}| = 10 \text{ N}$
Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Bu, çözümümüzün doğruluğunu teyit eder.
Cevap C seçeneğidir.
