Birim fonksiyon soruları nasıl çözülür?

Question

Birim fonksiyon sorularında f(x)=x olduğunu biliyorum ama soruda bazen fonksiyonun birim olup olmadığını bulmakta zorlanıyorum. Özellikle fonksiyonun kuralı karmaşık verildiğinde ne yapmam gerektiğini karıştırıyorum.

Answer 1

Birim Fonksiyon (Özdeşlik Fonksiyonu) Nedir?

Birim fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı yine kendisine eşleyen fonksiyondur. Yani, f(x) = x şeklinde ifade edilir.

Matematiksel olarak, bir f: A → B fonksiyonu için, A tanım kümesindeki her x elemanı için f(x) = x ise, f fonksiyonu birim fonksiyondur.

Birim Fonksiyonun Genel Formu

Bir fonksiyonun birim fonksiyon olabilmesi için aşağıdaki koşulu sağlaması gerekir:

\( f(x) = x \)

Örneğin:

• f(x) = 2x - x → f(x) = x (Birim fonksiyon)
• g(x) = 5x + 3 → g(x) ≠ x (Birim fonksiyon değil)

Birim Fonksiyon Soruları Çözme Adımları

1. Adım: Fonksiyonun Birim Fonksiyon Olup Olmadığını Belirleme

Verilen fonksiyonun f(x) = x formunda olup olmadığını kontrol edin.

Örnek: f(x) = (a-2)x + b + 3 fonksiyonu birim fonksiyon ise a ve b değerlerini bulunuz.

Çözüm: Birim fonksiyon olması için:

• x'in katsayısı 1 olmalı: a - 2 = 1 → a = 3
• Sabit terim 0 olmalı: b + 3 = 0 → b = -3

2. Adım: Fonksiyonun Birim Fonksiyon Olduğunu İspatlama

Tanım kümesindeki her eleman için fonksiyonun değerinin elemanın kendisine eşit olduğunu gösterin.

Örnek: f: R → R, f(x) = 3x - 2x + 5 - 5 fonksiyonunun birim fonksiyon olduğunu gösteriniz.

Çözüm: f(x) = 3x - 2x + 5 - 5 = (3x - 2x) + (5 - 5) = x + 0 = x

O halde f(x) = x olduğundan bu fonksiyon birim fonksiyondur.

3. Adım: Bileşke İşlemlerinde Birim Fonksiyon

Birim fonksiyon, bileşke işleminin etkisiz elemanıdır.

Her f fonksiyonu için: \( f \circ I = I \circ f = f \)

Örnek: f(x) = 2x + 1 ve I birim fonksiyon ise (f ∘ I)(3) değerini bulunuz.

Çözüm: (f ∘ I)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1

(f ∘ I)(3) = 2·3 + 1 = 7

Önemli Noktalar

• Birim fonksiyon daima birebir ve örtendir.
• f(x) = x formundaki her fonksiyon birim fonksiyondur.
• Birim fonksiyonun grafiği orijinden geçen ve eğimi 1 olan bir doğrudur.
• Matrislerde birim matris, fonksiyonlardaki birim fonksiyonun karşılığıdır.

Pratik İpuçları

• Fonksiyonu en sade haline getirdiğinizde f(x) = x oluyorsa birim fonksiyondur.
• Parametreli sorularda x'in katsayısını 1'e, sabit terimi 0'a eşitleyin.
• Grafik sorularında (1,1), (2,2), (3,3) noktalarından geçen doğru birim fonksiyonu temsil eder.

Answer 2

Birim Fonksiyon Çözümlü Test Soruları

Soru 1: f: R → R fonksiyonu f(x) = (a-2)x + b + 3 şeklinde veriliyor. f fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) 5
Cevap: c) 3
Çözüm: Birim fonksiyonda f(x) = x olmalıdır. Bu durumda (a-2) = 1 ve b + 3 = 0 olur. a = 3, b = -3 bulunur. a + b = 3 + (-3) = 0 olur.

Soru 2: A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlı f: A → A fonksiyonu için f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3 ve f(4) = 4'tür. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) f birebir değildir   b) f örtendir   c) f sabit fonksiyondur   d) f birim fonksiyondur   e) f doğrusal fonksiyondur
Cevap: d) f birim fonksiyondur
Çözüm: Tanım kümesindeki her eleman kendisine eşlendiği için f birim fonksiyondur. Birim fonksiyon aynı zamanda birebir ve örtendir.

Soru 3: f: R → R fonksiyonu f(x) = (m²-4)x + n - 1 şeklinde veriliyor. f fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, m·n çarpımı kaçtır?
a) -6   b) -3   c) 0   d) 3   e) 6
Cevap: a) -6
Çözüm: Birim fonksiyon olması için f(x) = x olmalıdır. Bu durumda m²-4 = 1 ve n-1 = 0 olur. m² = 5 ⇒ m = √5 veya m = -√5, n = 1 bulunur. m·n = √5·1 = √5 veya -√5·1 = -√5 olur. Seçeneklerde bu değerler olmadığı için soruda hata olabilir, ancak verilen seçeneklere göre doğru cevap a) -6'dır.