Bir yayın ucuna asılan bir cismin periyodu $T$ ise, yayın kütlesi 4 katına çıkarılırsa periyot ne olur?
A) $T/4$Merhaba arkadaşlar, bu soruyu adım adım çözerek yaya asılan cismin periyodunun yay kütlesiyle nasıl değiştiğini anlayacağız. Hazırsanız başlayalım!
Yaya asılı bir cismin periyodu (T) aşağıdaki formülle ifade edilir:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
Burada:
Bu formül bize periyodun sadece kütleye ve yay sabitine bağlı olduğunu gösteriyor. Soruda yayın kütlesinin değiştiği söyleniyor, ancak bu formülde yay kütlesi doğrudan yer almıyor. Bu durumda soruyu dikkatli okumalı ve yay kütlesinin periyodu nasıl etkilediğini düşünmeliyiz.
İdeal bir yay için (kütlesiz yay), yukarıdaki formül doğrudur. Ancak gerçekte yayların da bir kütlesi vardır. Bu durumda, yayın kütlesinin bir kısmı da cismin hareketine katılır. Bu etkiyi hesaba katmak için "etkin kütle" kavramını kullanırız. Etkin kütle, cismin kütlesine yayın kütlesinin bir kısmının eklenmesiyle bulunur. Genellikle, yayın homojen olduğu ve ucundan asıldığı durumlarda, etkin kütle yaklaşık olarak şu şekilde ifade edilir:
$m_{etkin} = m_{cisim} + \frac{m_{yay}}{3}$
Burada:
Başlangıçta yayın kütlesi $m_{yay}$ iken periyot $T$ idi. Bu durumda:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m_{cisim} + \frac{m_{yay}}{3}}{k}}$
Yayın kütlesi 4 katına çıkarıldığında, yeni kütle $4m_{yay}$ olur. Yeni periyot $T'$ ise:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{m_{cisim} + \frac{4m_{yay}}{3}}{k}}$
Şimdi, $m_{cisim}$'in $m_{yay}$'a göre çok büyük olmadığını varsayalım (aksi takdirde yayın kütlesinin değişimi periyodu önemli ölçüde etkilemezdi). Bu durumda, yaklaşık olarak $m_{cisim} \approx 0$ diyebiliriz. Bu durumda:
$T \approx 2\pi \sqrt{\frac{m_{yay}}{3k}}$
$T' \approx 2\pi \sqrt{\frac{4m_{yay}}{3k}}$
Şimdi $T'$'yi $T$ cinsinden ifade edelim:
$T' \approx 2\pi \sqrt{4 \cdot \frac{m_{yay}}{3k}} = 2 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{m_{yay}}{3k}} \approx 2T$
Yayın kütlesi 4 katına çıkarıldığında periyot yaklaşık olarak 2 katına çıkar.
Cevap D seçeneğidir.
