Doğrusal bir yolda hareket eden bir cismin hız-zaman grafiği aşağıdaki gibidir: $0-2 \text{ s}$ aralığında hız $0 \text{ m/s}$'den $10 \text{ m/s}$'ye düzgün artmaktadır. $2-4 \text{ s}$ aralığında hız $10 \text{ m/s}$ sabit kalmaktadır. $4-6 \text{ s}$ aralığında hız $10 \text{ m/s}$'den $0 \text{ m/s}$'ye düzgün azalmaktadır. Buna göre, cismin $0-2 \text{ s}$ aralığındaki ivmesi ile $4-6 \text{ s}$ aralığındaki ivmesinin büyüklükleri oranı kaçtır?
A) 1/2
B) 1
C) 2
D) 4
E) 5
Sevgili öğrenciler, bu soruda doğrusal bir yolda hareket eden bir cismin hız-zaman grafiği bilgileri verilmiş ve belirli zaman aralıklarındaki ivmelerinin büyüklükleri oranı isteniyor. İvme, hızdaki değişimin zamana oranıdır. Hadi adım adım bu soruyu çözelim!
- İvme Kavramını Hatırlayalım: İvme ($a$), bir cismin hızındaki değişimin bu değişimin gerçekleştiği zamana oranıdır. Matematiksel olarak $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ şeklinde ifade edilir. Burada $\Delta v$ hız değişimi ($v_{son} - v_{ilk}$) ve $\Delta t$ ise zaman değişimidir ($t_{son} - t_{ilk}$).
- $0-2 \text{ s}$ Aralığındaki İvmeyi Hesaplayalım:
- Bu aralıkta cismin ilk hızı ($v_{ilk}$) $0 \text{ m/s}$'dir.
- Son hızı ($v_{son}$) $10 \text{ m/s}$'dir.
- Zaman aralığı ($\Delta t$) $2 \text{ s} - 0 \text{ s} = 2 \text{ s}$'dir.
- Hız değişimi ($\Delta v$) $10 \text{ m/s} - 0 \text{ m/s} = 10 \text{ m/s}$'dir.
- Bu aralıktaki ivme ($a_{0-2}$) şu şekilde bulunur: $a_{0-2} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{10 \text{ m/s}}{2 \text{ s}} = 5 \text{ m/s}^2$.
- İvmenin büyüklüğü $|a_{0-2}| = |5 \text{ m/s}^2| = 5 \text{ m/s}^2$'dir.
- $4-6 \text{ s}$ Aralığındaki İvmeyi Hesaplayalım:
- Bu aralıkta cismin ilk hızı ($v_{ilk}$) $10 \text{ m/s}$'dir.
- Son hızı ($v_{son}$) $0 \text{ m/s}$'dir.
- Zaman aralığı ($\Delta t$) $6 \text{ s} - 4 \text{ s} = 2 \text{ s}$'dir.
- Hız değişimi ($\Delta v$) $0 \text{ m/s} - 10 \text{ m/s} = -10 \text{ m/s}$'dir. (Hız azaldığı için değişim negatiftir, bu da yavaşlama anlamına gelir.)
- Bu aralıktaki ivme ($a_{4-6}$) şu şekilde bulunur: $a_{4-6} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-10 \text{ m/s}}{2 \text{ s}} = -5 \text{ m/s}^2$.
- İvmenin büyüklüğü $|a_{4-6}| = |-5 \text{ m/s}^2| = 5 \text{ m/s}^2$'dir.
- İvme Büyüklüklerinin Oranını Bulalım:
- Bizden $0-2 \text{ s}$ aralığındaki ivmenin büyüklüğü ile $4-6 \text{ s}$ aralığındaki ivmenin büyüklüğünün oranı isteniyor.
- Oran $= \frac{|a_{0-2}|}{|a_{4-6}|} = \frac{5 \text{ m/s}^2}{5 \text{ m/s}^2} = 1$.
Gördüğünüz gibi, cisim ilk aralıkta hızlanırken ve son aralıkta yavaşlarken, hız değişimlerinin büyüklükleri ve bu değişimlerin gerçekleştiği zaman aralıkları aynı olduğu için ivmelerinin büyüklükleri de aynı çıkmıştır. Bu yüzden oran $1$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
