5. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 5

Yarıçapları $5$ cm olan iki çember, merkezleri arasındaki uzaklık $6$ cm olacak şekilde kesişmektedir. Bu çemberlerin kesişim noktalarından biri $K$, merkezleri ise $M_1$ ve $M_2$'dir. $M_1KM_2$ üçgeninin çevresi $16$ cm'dir. Eğer merkezler arasındaki uzaklık $8$ cm olsaydı, $M_1KM_2$ üçgeninin çevresi kaç cm olurdu?

A) $10$
B) $13$
C) $16$
D) $18$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde çemberlerin temel özelliklerini ve üçgenin çevresini kullanarak bir durumu analiz edeceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• Problemi Anlayalım:

  Bize yarıçapları $5$ cm olan iki çember verilmiş. Bu çemberler kesişiyor ve kesişim noktalarından biri $K$. Çemberlerin merkezleri $M_1$ ve $M_2$.

  İlk durumda, merkezler arası uzaklık $M_1M_2 = 6$ cm olarak verilmiş.

  Bizden $M_1KM_2$ üçgeninin çevresinin $16$ cm olduğu bilgisi doğrulanmış. Bu bilgi, soruyu doğru anladığımızı teyit etmek için önemlidir.

  İkinci durumda ise, merkezler arası uzaklık $M_1M_2 = 8$ cm olsaydı, $M_1KM_2$ üçgeninin çevresinin kaç cm olacağı soruluyor.

• $M_1KM_2$ Üçgeninin Kenarlarını Belirleyelim:

  Bir çemberin merkezinden çember üzerindeki herhangi bir noktaya olan uzaklık, o çemberin yarıçapıdır.

  • $K$ noktası birinci çemberin üzerinde olduğu için, $M_1K$ uzunluğu birinci çemberin yarıçapına eşittir. Yani, $M_1K = 5$ cm.
  • $K$ noktası aynı zamanda ikinci çemberin üzerinde olduğu için, $M_2K$ uzunluğu ikinci çemberin yarıçapına eşittir. Yani, $M_2K = 5$ cm.
  • $M_1M_2$ uzunluğu ise çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklıktır.
• İlk Durumu İnceleyelim (Merkezler arası uzaklık $6$ cm iken):

  Bu durumda $M_1M_2 = 6$ cm'dir.

  $M_1KM_2$ üçgeninin kenar uzunlukları şunlardır:

  • $M_1K = 5$ cm (yarıçap)
  • $M_2K = 5$ cm (yarıçap)
  • $M_1M_2 = 6$ cm (merkezler arası uzaklık)

  Üçgenin çevresi, kenar uzunluklarının toplamıdır:

  Çevre $= M_1K + M_2K + M_1M_2 = 5 + 5 + 6 = 16$ cm.

  Bu, soruda verilen bilgiyle uyuşmaktadır. Bu, bizim çember ve üçgen özelliklerini doğru anladığımızı gösterir.

• İkinci Durumu İnceleyelim (Merkezler arası uzaklık $8$ cm olsaydı):

  Şimdi merkezler arası uzaklık değişiyor, $M_1M_2 = 8$ cm oluyor. Ancak çemberlerin yarıçapları değişmez.

  Yeni $M_1KM_2$ üçgeninin kenar uzunlukları şunlardır:

  • $M_1K = 5$ cm (yarıçap hala aynı)
  • $M_2K = 5$ cm (yarıçap hala aynı)
  • $M_1M_2 = 8$ cm (yeni merkezler arası uzaklık)

  Bu yeni durumda $M_1KM_2$ üçgeninin çevresini hesaplayalım:

  Yeni Çevre $= M_1K + M_2K + M_1M_2 = 5 + 5 + 8$

  Yeni Çevre $= 10 + 8 = 18$ cm.

Böylece, merkezler arasındaki uzaklık $8$ cm olsaydı, $M_1KM_2$ üçgeninin çevresi $18$ cm olurdu.

Cevap D seçeneğidir.