Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen bir parabolik fonksiyonun görüntü kümesindeki en küçük elemanı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
-
Fonksiyonu Tanıyalım: Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 4x + 7$ şeklindedir. Bu, ikinci dereceden bir fonksiyondur ve grafiği bir paraboldür. Genel olarak, $ax^2 + bx + c$ şeklindeki fonksiyonlara ikinci dereceden fonksiyon denir.
-
Parabolün Yönünü Belirleyelim: Bir parabolün yönü, $x^2$ teriminin katsayısına ($a$) bağlıdır.
- Eğer $a > 0$ ise, parabol yukarı doğru açılır (kolları yukarı bakar). Bu durumda fonksiyonun bir minimum değeri vardır.
- Eğer $a < 0$ ise, parabol aşağı doğru açılır (kolları aşağı bakar). Bu durumda fonksiyonun bir maksimum değeri vardır.
Bizim fonksiyonumuzda $x^2$ teriminin katsayısı $1$'dir (yani $a=1$). $1 > 0$ olduğu için, parabol yukarı doğru açılır ve bu fonksiyonun bir en küçük değeri (minimum değeri) vardır.
-
Minimum Değeri Nerede Buluruz?: Bir parabolün en küçük veya en büyük değeri, parabolün tepe noktasında (vertex) bulunur. Tepe noktasının $x$-koordinatı $x_v = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur. Tepe noktasının $y$-koordinatı ise, bu $x_v$ değerini fonksiyonda yerine yazarak bulunur: $y_v = f(x_v)$. Bu $y_v$ değeri, fonksiyonun görüntü kümesindeki en küçük (veya en büyük) elemandır.
-
Tepe Noktasının $x$-koordinatını Hesaplayalım:
Fonksiyonumuz $f(x) = x^2 - 4x + 7$ olduğundan, katsayılarımız şunlardır:
Şimdi $x_v$ formülünü kullanalım:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = -\frac{-4}{2} = -(-2) = 2$.
Yani, fonksiyonun en küçük değerini aldığı $x$ değeri $2$'dir.
-
Fonksiyonun En Küçük Değerini (Görüntü Kümesindeki En Küçük Elemanı) Hesaplayalım:
$x_v = 2$ değerini $f(x)$ fonksiyonunda yerine yazarak en küçük değeri buluruz:
$f(2) = (2)^2 - 4(2) + 7$
$f(2) = 4 - 8 + 7$
$f(2) = -4 + 7$
$f(2) = 3$.
-
Sonuç: Bu fonksiyonun görüntü kümesindeki en küçük eleman $3$'tür. Bu, parabolün tepe noktasının $y$-koordinatıdır.
Cevap C seçeneğidir.
