Bir kuşun uçuşu sırasında konum vektörü \(\vec{r}(t) = (3t^2)\hat{i} + (4t)\hat{j}\) olarak veriliyor. t=1 saniyedeki anlık hız vektörü nedir?
A) \(3\hat{i} + 4\hat{j}\)Sevgili öğrenciler, bu soruda bir kuşun konum vektörü verilmiş ve bizden belirli bir andaki anlık hız vektörünü bulmamız isteniyor. Fizikte, bir cismin konum vektörünün zamana göre türevi, o cismin hız vektörünü verir. Adım adım ilerleyelim:
1. Adım: Konum Vektörünü Tanımlayalım
Bize verilen kuşun konum vektörü şöyledir:
$\vec{r}(t) = (3t^2)\hat{i} + (4t)\hat{j}$
Burada $\hat{i}$ ve $\hat{j}$ birim vektörler olup, sırasıyla x ve y eksenlerindeki yönleri belirtir.
2. Adım: Hız Vektörünü Bulalım
Anlık hız vektörü ($\vec{v}(t)$), konum vektörünün zamana göre türevidir. Yani:
$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}$
Şimdi konum vektörünün her bir bileşeninin zamana göre türevini alalım:
x bileşeni için: $\frac{d}{dt}(3t^2) = 3 \times 2t^{2-1} = 6t$
y bileşeni için: $\frac{d}{dt}(4t) = 4 \times 1t^{1-1} = 4t^0 = 4$
Bu durumda, hız vektörümüz şu şekilde olur:
$\vec{v}(t) = (6t)\hat{i} + (4)\hat{j}$
3. Adım: t=1 Saniyedeki Anlık Hızı Hesaplayalım
Şimdi bulduğumuz hız vektörü denkleminde $t=1$ saniye değerini yerine koyalım:
$\vec{v}(1) = (6 \times 1)\hat{i} + (4)\hat{j}$
$\vec{v}(1) = 6\hat{i} + 4\hat{j}$
4. Adım: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım
Hesapladığımız anlık hız vektörü $6\hat{i} + 4\hat{j}$'dir. Bu sonuç, verilen seçeneklerden B seçeneği ile aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
