Çevresi 20 cm olan bir dikdörtgenin alanı en fazla kaç cm² olabilir?
A) 20Sevgili öğrenciler, bu soruda çevresi belirli olan bir dikdörtgenin alanının en fazla kaç olabileceğini bulacağız. Bu tür sorular, geometrik şekillerin özelliklerini ve cebirsel ifadeleri birleştirmemizi gerektirir. Hadi adım adım ilerleyelim!
Bize verilen bilgi, bir dikdörtgenin çevresinin $20$ cm olduğudur. Bizden istenen ise bu dikdörtgenin alanının en fazla kaç olabileceğidir.
Dikdörtgenin kenar uzunluklarına $a$ ve $b$ diyelim.
Dikdörtgenin çevresi formülü: $Çevre = 2 \times (a + b)$
Dikdörtgenin alanı formülü: $Alan = a \times b$
Çevre $20$ cm olduğuna göre, formülü kullanarak kenarlar arasındaki ilişkiyi yazalım:
$2 \times (a + b) = 20$
Her iki tarafı $2$'ye bölersek: $a + b = 10$ cm.
Bu, dikdörtgenin kısa ve uzun kenarının toplamının $10$ cm olduğu anlamına gelir.
Şimdi $a+b=10$ koşulu altında $a \times b$ çarpımının en büyük değerini bulmamız gerekiyor. Matematikte önemli bir kural vardır: Toplamları sabit olan iki sayının çarpımının en büyük olması için bu sayıların birbirine en yakın olması gerekir. Hatta birbirine eşit olmaları durumunda çarpım en büyük değerini alır. Bu durumda dikdörtgen bir kare olur.
Eğer $a$ ve $b$ birbirine eşit olursa:
$a = b$ ve $a + b = 10$ ise,
$a + a = 10 \Rightarrow 2a = 10 \Rightarrow a = 5$ cm olur.
Dolayısıyla, $b$ de $5$ cm olur. Yani kenar uzunlukları $5$ cm ve $5$ cm olan bir kare elde ederiz.
Kenar uzunluklarını $a = 5$ cm ve $b = 5$ cm olarak bulduğumuza göre, alanı hesaplayabiliriz:
$Alan = a \times b = 5 \times 5 = 25$ cm².
Bu, çevresi $20$ cm olan bir dikdörtgenin sahip olabileceği en büyük alandır. Farklı kenar uzunlukları deneyerek de bunu kontrol edebilirsiniz: Örneğin, kenarlar $4$ cm ve $6$ cm olsaydı ($4+6=10$), alan $4 \times 6 = 24$ cm² olurdu. Ya da $3$ cm ve $7$ cm olsaydı ($3+7=10$), alan $3 \times 7 = 21$ cm² olurdu. Gördüğünüz gibi, kenarlar birbirine yaklaştıkça alan büyüyor ve eşit olduklarında en büyük değerine ulaşıyor.
Cevap C seçeneğidir.
