Bu soruda bir sayı örüntüsünün genel kuralını bulmamız isteniyor. Sayı örüntüleri, belirli bir kurala göre ilerleyen sayılar dizisidir. Genel kural ise, örüntüdeki herhangi bir terimi (örneğin 10. terimi, 100. terimi) bulmamızı sağlayan matematiksel ifadedir. Hadi adım adım çözelim:
- 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım
- Soruda bize iki önemli bilgi verilmiş:
- Ardışık terimler arasındaki fark 5'tir. Bu, örüntünün her adımda 5 arttığı anlamına gelir. Matematikte buna ortak fark denir ve genellikle '$d$' harfi ile gösterilir. Yani, $d = 5$.
- İlk terim 2'dir. Bu da örüntünün başladığı sayıdır. Matematikte ilk terim genellikle '$a_1$' ile gösterilir. Yani, $a_1 = 2$.
- 2. Adım: Aritmetik Dizinin Genel Kuralını Hatırlayalım
- Verilen bilgiler bir aritmetik diziye (sayı örüntüsüne) işaret ediyor. Aritmetik dizilerin genel kuralı (yani $n$. terimi bulma formülü) şöyledir:
- $a_n = a_1 + (n-1)d$
- Burada:
- $a_n$: Örüntünün $n$. terimi (yani bulmak istediğimiz genel kural)
- $a_1$: Örüntünün ilk terimi
- $n$: Terim numarası (1. terim için $n=1$, 2. terim için $n=2$ vb.)
- $d$: Ortak fark
- 3. Adım: Verilen Değerleri Formülde Yerine Koyalım
- Şimdi, $a_1 = 2$ ve $d = 5$ değerlerini genel kural formülünde yerine yazalım:
- $a_n = 2 + (n-1)5$
- 4. Adım: İfadeyi Sadeleştirelim
- Denklemi daha basit bir hale getirmek için dağılma özelliğini kullanalım:
- Önce parantez içindeki $(n-1)$ ifadesini 5 ile çarpalım:
- $5 \times n = 5n$
- $5 \times (-1) = -5$
- Şimdi bu sonuçları formülde yerine yazalım:
- $a_n = 2 + 5n - 5$
- Son olarak, sabit terimleri birleştirelim:
- $a_n = 5n + (2 - 5)$
- $a_n = 5n - 3$
- 5. Adım: Sonucu Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı ama Faydalı)
- Bulduğumuz genel kuralın ($5n - 3$) doğru olup olmadığını kontrol edelim. İlk terimi bulmak için $n=1$ yazalım:
- $a_1 = 5(1) - 3 = 5 - 3 = 2$. Bu, soruda verilen ilk terimle aynı! Harika!
- İkinci terimi bulmak için $n=2$ yazalım:
- $a_2 = 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7$.
- Üçüncü terimi bulmak için $n=3$ yazalım:
- $a_3 = 5(3) - 3 = 15 - 3 = 12$.
- Örüntümüz $2, 7, 12, ...$ şeklinde ilerliyor. Terimler arasındaki farka bakalım: $7 - 2 = 5$ ve $12 - 7 = 5$. Ortak fark da 5, tıpkı soruda verildiği gibi. Demek ki bulduğumuz kural doğru.
- 6. Adım: Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Bulduğumuz genel kural $5n - 3$ idi. Seçeneklere baktığımızda, bu ifade A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
